Question

【題目】如圖，∠MBN=90°，點C是∠MBN平分線上的一點，過點C分別作AC⊥BC，CE⊥BN，垂足分別為點C，E，AC=，點P為線段BE上的一點（點P不與點B、E重合），連接CP，以CP為直角邊，點P為直角頂點，作等腰直角三角形CPD，點D落在BC左側．

（1）求證：；

（2）連接BD，請你判斷AC與BD的位置關系，并說明理由；

（3）設PE=x，△PBD的面積為S，求S與x之間的函數關系式．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AC∥BD；（3）．

【解析】

試題（1）由△CPD∽△CEB證得結論；

（2）AC∥BD．欲推知AC∥BD，直線推知∠ACB+∠DBC=180°；

（3）如圖所示，過點P作PF⊥BD．交DB的延長線于點F．通過解直角三角形、（2）中相似三角形的對應邊成比例和三角形的面積公式寫出函數關系式即可．

試題解析：（1）證明：∵∠MBN=90°，點C是∠MBN平分線上的一點，∴∠CBE=45°，又CE⊥BN，∴∠BCE=45°，∴BE=CE，∴△BCE是等腰直角三角形．

又∵△CPD是等腰直角三角形，∴△CPD∽△CEB，∴，∴；

（2）解：AC∥BD，理由如下：

∵∠PCE+∠BCP=∠DCB+∠BCP=45°，∴∠PEC=∠DCB．

由（1）知，，∴△EPC∽△BDC，∴∠PEC=∠DBC．

∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴∠ACB+∠DBC=180°，∴AC∥BD；

（3）解：如圖所示，過點P作PF⊥BD．交DB的延長線于點F．

∵AC=，△ABC與△BEC都是等腰直角三角形，∴BC=，BE=CE=4．

由（2）知，△EPC∽△BDC，∴．即，∴DB=x．

∵∠PBF=∠CBF﹣∠CBP=90°﹣45°=45°，即BP=BE﹣PE=4﹣x，∴PF=BPsin∠PBF=（4﹣x）×=﹣x，∴S=DBPF=×x×（﹣x），即：．