Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，AB=2cm，動點P、Q分別從點A、C同時出發，運動速度均為1cm/s，點P從點A出發，沿A→B運動，到點B停止，點Q從點C出發，沿C→A運動，到點A停止，連接BQ、CP相交于點D，設點P的運動時間為x（s）．

（1）AP= （用含x的式子表示）；

（2）求證：△ACP≌△CBQ；

（3）求∠PDB的度數；

（4）當CP⊥AB時，直接寫出x的值．

Answer 1

【答案】（1）x；（2）見解析（3）∠PDB=60°．（4）x=1．

【解析】

試題分析：（1）根據點P的運動時間為x（s），運動速度均為1cm/s，得到AP=x；

（2）利用SAS證明△ACP≌△CBQ；

（3）由△ACP≌△CBQ，得到∠ACP=∠QCB，利用外角的性質∠PDB=∠DBC+∠DCB，即可解答；

（4）當CP⊥AB時，則點P為AB的中點，所以AP=AB=1cm，則x=1．

解：（1）∵點P的運動時間為x（s），運動速度均為1cm/s，

∴AP=x，

故答案為：x．

（2）∵動點P、Q分別從點A、C同時出發，運動速度均為1cm/s，點P從點A出發，沿A→B運動，到點B停止，點Q從點C出發，沿C→A運動，到點A停止，

∴AP=CQ，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AC=CB，∠A=∠ACB=60°，

在△ACP和△CBQ中，

，

∴△ACP≌△CBQ．

（3）∵△ACP≌△CBQ，

∴∠ACP=∠QCB，

∵∠PDB=∠DBC+∠DCB，

∴∠PDB=∠DCB+∠ACP=∠ACB=60°．

（4）當CP⊥AB時，則點P為AB的中點，

∴AP=AB=1cm，

∴x=1．