Question

18．先閱讀下面的內容，然后再解答問題．
例：已知m²+2mn+2n²-2n+1=0．求m和n的值．
解：∵m²+2mn+2n²-2n+1=0，
∴m²+2mn+n²+n²-2n+1=0．
∴（m+n）²+（n-1）²=0．
∴$\left\{\begin{array}{l}m+n=0\\ n-1=0\end{array}\right.$．
解這個方程組，得：$\left\{\begin{array}{l}m=-1\\ n=1\end{array}\right.$．
解答下面的問題：
（1）如果x²+y²-8x+10y+41=0成立．求（x+y）²⁰¹⁶的值；
（2）已知a，b，c為△ABC的三邊長，若a²+b²+c²=ab+bc+ca，試判斷△ABC的形狀，并證明．

Answer 1

分析 （1）根據完全平方公式把原式化為（x-4）²+（y+5）²=0的形式，根據非負數的性質求出x、y，代入代數式根據乘方法則計算即可；
（2）根據完全平方公式把原式化為（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²=0的形式，根據非負數的性質進行解答即可．

解答 解：（1）∵x²+y²-8x+10y+41=0，
∴x²-8x+16+y²+10y+25=0．
∴（x-4）²+（y+5）²=0．
∴x-4=0且y+5=0．
∴x=4，y=-5．
∴（x+y）²⁰¹⁶=[4+（-5）]²⁰¹⁶=1．
（2）∵a²+b²+c²=ab+bc+ca，
∴2a²+2b²+2c²=2ab+2bc+2ca．
∴a²-2ab+b²+b²-2bc+c²+c²-2ca+a²=0．
∴（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²=0．
∴a-b=0且b-c=0且c-a=0．
∴a=b=c．
∴△ABC是等邊三角形．

點評 本題考查的是配方法的應用和非負數的性質的應用，正確根據完全平方公式進行配方是解題的關鍵．