Question

8．如圖，半圓O的直徑AE=4，點B、C、D均在半圓上，若AB=BC，CD=DE，連接OB、OD，
（1）求證：$\widehat{AB}$+$\widehat{DE}$=$\widehat{BC}$+$\widehat{CD}$；
（2）求∠BOD度數；
（3）求圖中陰影部分面積．

Answer 1

分析 （1）根據AB=BC，CD=DE，得到$\widehat{AB}=\widehat{BC}$，$\widehat{CD}=\widehat{DE}$，即可得到結論；
（2）根據$\widehat{AB}$+$\widehat{DE}$=$\widehat{BC}$+$\widehat{CD}$；即可得到∠BOD=$\frac{1}{2}×180°=90°$；
（3）根據扇形的面積公式即可得到結論．

解答 （1）證明：∵AB=BC，CD=DE，
∴$\widehat{AB}=\widehat{BC}$，$\widehat{CD}=\widehat{DE}$，
∴$\widehat{AB}$+$\widehat{DE}$=$\widehat{BC}$+$\widehat{CD}$；

（2）解：∵$\widehat{AB}$+$\widehat{DE}$=$\widehat{BC}$+$\widehat{CD}$；
∴∠BOD=$\frac{1}{2}×180°=90°$；

（3）由（2）得：
S_陰影=S_扇形OBD=$\frac{90π×（4÷2）^{2}}{360}$=π．
∴陰影部分面積為π．

點評 本題考查了扇形的面積計算及圓心角、弧之間的關系．解答本題的關鍵是得出陰影部分的面積等于扇形BOD的面積．