Question

【題目】閱讀下面材

有依次排列的個數：對任意相鄰的兩個數，都用右邊的數減去左邊的數，所得之差寫在這兩個數之間，可產生一個新數串： 這稱為第一次操作；第二次同樣的操作后也可產生一個新數串：繼續依次操作下去．問

有依次排開的個數： ，第一次操作后，增加的所有新數之和是多少?

在的前提下，經過第二次操作后所得的新數串比第一次操作后所得的數串增加的所有新數之和是多少?

猜想：有依次排開的個數，第一百次操作后得到的新數串比第九十九次操作后所得的數串增加的所有新數之和是多少?

Answer 1

【答案】（1）4；（2）4；（3）.

【解析】

（1）仿造題意所給的第一次操作的模式將此時的三個數加以操作即可；

（2）根據（1）可知第一次操作后的新數串為：，據此進一步進行第二次操作即可得出第二次操作后的新數串，然后進一步計算即可；

（3）首先求出該組數第一次操作后所得的新數串的增加的新數之和，然后根據（1）、（2）中的結果發現其前后第一、第二相鄰兩次的操作后所得的新數串的增加的新數之和并沒有發生變化，據此進一步猜想即可.

（1）由題意得可得：

將第一次操作后所得的新數串為：，

其中增加的新數為：，

∴，

即第一次操作后，增加的所有新數之和是4；

（2）由（1）可得第一次操作后的新數串為：，

∴第二次操作后的新數串為：，

其中增加的新數為：，

∴，

即第二次操作后所得的新數串比第一次操作后所得的數串增加的所有新數之和為4；

（3）由題意得：第一次操作后可得新數串為：，

此時新增加的數為：，

∴，

即第二次操作后所得的新數串比第一次操作后所得的數串增加的所有新數之和為，

根據（1）、（2）的答案可以發現，其前后第一、第二次的操作后所得的新數串的增加的新數之和并沒有發生變化，

∴ 猜想凡是前后兩次相鄰操作后所得的新數串的增加的新數之和不會發生變化，

∴第一百次操作后得到的新數串比第九十九次操作后所得的數串增加的所有新數之和為：.