Question

【題目】在等腰三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，已知a＝3，b和c是關于x的方程x2+mx+2-m=0的兩個實數根．

（1）求△ABC的周長．

（2）求△ABC的三邊均為整數時的外接圓半徑．

Answer 1

【答案】（1）△ABC的周長為7或7；（2）△ABC的三邊均為整數時的外接圓半徑為．

【解析】

（1）此題分兩種情況考慮：一是b和c中有一個和a相等，是3；二是b=c，即根據方程有兩個相等的實數根，由△=0求解．最后注意看是否符合三角形的三邊關系．

（2）根據（1）中求解的結果，只需求得2，3，3的三角形的外接圓的半徑，根據等腰三角形的三線合一和勾股定理求解．

（1）若b、c中有一邊等于3，

則方程可化為，

解得m=-；

原方程可化為x2-=0，

解得x1=3，x2=，

所以三角形的周長為3+3+=；

若b=c，則△=m2-4()=0，

解得m=﹣4或2，

當m=﹣4時，方程為x2﹣4x+4=0，得x1=x2=2，

所以三角形的周長為2+2+3=7；

當m=2時，方程為x2+2x+1=0，得x1=x2=﹣1；（不合題意，舍去）

綜上可知△ABC的周長為7或7．

（2）作△ABC的外接圓⊙O，連接AO并延長交⊙O于點D、交BC于E，連接BO，

則有AE⊥BC．

∵△ABC的三邊均為整數，

∴AB=AC=2，BC=3，

BE=BC=．AE==，

設AO=R，在Rt△BOE中，R2=（）2+（﹣R）2，

∴R=，

∴△ABC的三邊均為整數時的外接圓半徑為．