Question

【題目】已知拋物線與軸交于點和點，與直線交于點和點，為拋物線的頂點，直線是拋物線的對稱軸．

（1）求拋物線的解析式及點的坐標．

（2）點為直線上方拋物線上一點，設為點到直線的距離，當有最大值時，求點的坐標．

（3）若點為直線上一點，作點關于軸的對稱點，連接，，當是直角三角形時，直接寫出點的坐標．

Answer 1

【答案】（1），點的坐標為；（2）點的坐標為；（3）點的坐標為或．

【解析】

（1）先由直線解析式求出B點坐標，再把A，B坐標代入拋物線解析式中，求出a,c的值，從而求出拋物線解析式，再把拋物線解析式化成頂點式，求出頂點坐標即可；

（2）過點作軸，交于點，連接，，設點的坐標為，則，寫出△PCB面積的表達式，求出△PCB面積最大值所對應的m，從而求出P點坐標；

（3）由題意，知，．設點的坐標為，分別求出，，，在分類討論①當時，，②當時，，求出t，即可求出F的坐標.

解：（1）∵直線，

令y=0，解得x=3，

∴，

將點，代入拋物線中，

得，解得

∴拋物線的解析式為，

∵，

∴點的坐標為；

（2）過點作軸，交于點，連接，，如解圖所示，

由題意，可知有最大值時，有最大值，

設點的坐標為，則，

∴，

∴，

∵，，

∴當時，有最大值，且最大值為，此時有最大值，

∴點的坐標為；

（3）由題意，知，．設點的坐標為，

則，，，

由題，易知，則當是直角三角形時，需分以下兩種情況進行討論，

①當時，，

即，解得，

∴點的坐標為；

②當時，，

即，解得（與點重合，故舍去）或，

∴點的坐標為，

綜上所述，點的坐標為或．