Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，且.

（1）求拋物線的解析式及頂點的坐標；

（2）判斷的形狀，證明你的結論；

（3）點是拋物線對稱軸上的一個動點，當周長最小時，求點的坐標及的最小周長.

Answer 1

【答案】（1），D；（2）是直角三角形，見解析；（3），.

【解析】

（1）直接將（1，0），代入解析式進而得出答案，再利用配方法求出函數頂點坐標；

（2）分別求出AB2＝25，AC2＝OA2＋OC2＝5，BC2＝OC2＋OB2＝20，進而利用勾股定理的逆定理得出即可；

（3）利用軸對稱最短路線求法得出M點位置，求出直線的解析式，可得M點坐標，然后易求此時△ACM的周長．

解：（1）∵點在拋物線上，

∴，

解得：.

∴拋物線的解析式為，

∵，

∴頂點的坐標為：；

（2）是直角三角形，

證明：當時，

∴，即，

當時，，

解得：，，

∴，

∴，，，

∵，，，

∴，

∴是直角三角形；

（3）如圖所示：BC與對稱軸交于點M，連接，

根據軸對稱性及兩點之間線段最短可知，此時的值最小，即周長最小，

設直線解析式為：，則，

解得：，

故直線的解析式為：，

∵拋物線對稱軸為

∴當時，，

∴，

最小周長是：.