Question

【題目】在正方形ABCD中，點E是直線CD上一動點，以BE為斜邊向上方作等腰直角△BEF，連接AF，試求線段AF與DE的數量關系．

（1）小可同學進行探索：①將點E的位置特殊化，發現DE= ___ AF；

②點E運動過程中，∠BAF= ___ ；(填度數)

（2）如圖1，當點E在線段CD上時，證明AF與DE的數量關系；

（3）如圖2，當邊EF被對角線BD平分時，求值．

Answer 1

【答案】（1）①；②45°或135°；（2）；（3）

【解析】

（1）①當點E與點C重合、點F與點O重合時，可證得DE=AF，∠BAF=45°；

②當點E在CD延長線上時，利用兩邊對應成比例且夾角相等證得△ABF∽△DBE，即可求得∠BAF=∠BDE=135°；

（2）利用兩邊對應成比例且夾角相等證得△ABF∽△DBE，即可求得答案；

（3）利用（2）的結論證得，BF，則FE=，BE=，求得BM，證得△MBE∽△EBD，得到，即可求得BD和MD的長，從而求得答案．

（1）①∵四邊形ABCD是正方形，

∴OB=OC=AC=BD，∠BOC=90°，

當點E與點C重合、點F與點O重合時，如圖：

△BEF等腰直角三角形，

∴DE=AB=AF，

②∠BAF=45°；

當點E在CD延長線上時，如圖：

連接BD，

∵四邊形ABCD是正方形

∴∠ABD=45°，

∴，

∵△BEF是等腰直角三角形，∠BFE=90°，

∴BF=FE，∠FBE=45°，

∴，

∴，即，

∴∠ABF+∠EBA =∠DBE+∠EBA =45°，

∴∠ABF=∠DBE，

∴△ABF∽△DBE，

∴∠BAF=∠BDE=∠ADB+∠ADE =45°+90°=135°，

故答案為：①DE=AF，②∠BAF=45°或135°；

（2）連接BD，

∵四邊形ABCD是正方形

∴∠ABD=45°，

∴，

∵△BEF是等腰直角三角形，∠BFE=90°，

∴BF=FE，∠FBE=45°，

∴，

∴，即，

∴∠ABF+∠DBF =∠DBE+∠DBF=45°，

∴∠ABF=∠DBE，

∴△ABF∽△DBE，

∴，

∴；

（3）∵△ABF∽△EBD，

∴，

又∵∠MEB=∠BDE=45°，∠MBE=∠EBD，

∴△MBE∽△EBD，

∴，

令BF，

∴FE=，BE=，

∵M是FE的中點，

∴FM=，

∴BM=，

∴，

∴BD=，

∴MD=BD-BM=-=，

∴，

∴．