Question

【題目】如圖，中，，．、是邊、邊上的動點，從出發向運動，同時以相同的速度從出發向運動，運動到停止．為中點．

試探究的形狀，并說明理由．

在運動過程中，四邊形可能成為正方形嗎？如能求正方形的邊長．

當為多少時，的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

【答案】為等腰直角三角形，理由見解析；四邊形是正方形，且其邊長為；（為時，的面積最大，最大面積是．

【解析】

（1）根據F是AB中點，可得AF=BF=CF，∠A=∠FCE=45°，即可證明△ADF≌△CEF，于是可得DF=EF，∠AFD=∠CFE，即可求得∠DFE=90°，即可得到結論；

（2）根據三角形中位線定理和等腰直角三角形的性質即可證得；

（3）設AD=x，則CE=x，DC=8-x，根據三角形面積公式得出函數關系式，根據函數的頂點式即可求得.

解:為等腰直角三角形，

理由：如圖連接，

∵是中點，，，

∴，，

在和中，

，

∴；

∴，，

∵，

∴，即，

∴是等腰直角三角形；當、分別為、中點時，四邊形是正方形，

∵，為中點，

∴，，

∵，

∴，

又∵，

∴四邊形是正方形，且其邊長為；設，則，，

∵，

∴當為時，的面積最大，最大面積是．