Question

【題目】如圖，在△ABC中，AC=BC，AB=26，以AB為直徑的⊙O交AC邊于點D，點E在BC上，連結BD，DE，∠CDE=∠ABD．

(1)證明：DE是⊙O的切線；

(2)若sin∠CDE=，求DC的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）DC的長為

【解析】

（1）連結OD，如圖，根據圓周角定理，由AB為⊙O的直徑得∠ADO+∠ODB=90°，再由OB=OD得∠OBD=∠ODB，則∠ADO+∠ABD=90°，由于∠CDE=∠ABD，所以∠ADO+∠CDE=90°，然后根據平角的定義得∠ODE=90°，于是可根據切線的判定定理得到DE是⊙O的切線；

（2）由于∠CDE=∠ABD，則sin∠CDE=sin∠ABD=，在Rt△ABD中，根據正弦的定義得sin∠ABD= ，得到AD=10，再連結OC，如圖，由于CA=CB，OA=OB，根據等腰三角形的性質得CO⊥AB，則利用等角的余角相等可得到∠ACO=∠ABD，然后在Rt△ACO中，利用∠ACO的正弦可計算出AC的長，從而可得答案．

（1）證明：連結OD，如圖， ∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠ODB=90°，

∵OB=OD， ∴∠OBD=∠ODB，

∴∠ADO+∠ABD=90°，

∵∠CDE=∠ABD，

∴∠ADO+∠CDE=90°，

∴∠ODE=90°，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切線；

（2）解：∵∠CDE=∠ABD，

∴sin∠CDE=sin∠ABD=，

在Rt△ABD中，sin∠ABD==，

∴

∴圓O的半徑為

連結OC，如圖， ∵CA=CB，OA=OB，

∴CO⊥AB， ∴∠ACO=∠ABD，

在Rt△ACO中，

∵sin∠ACO=

∴AC=