Question

【題目】已知：二次函數y=x2-2mx-m2＋4m-2的對稱軸為l，拋物線與y軸交于點C，頂點為D．

（1）判斷拋物線與x軸的交點情況；

（2）如圖1，當m=1時，點P為第一象限內拋物線上一點，且△PCD是以PD為腰的等腰三角形，求點P的坐標；

（3）如圖2，直線和拋物線交于點A、B兩點，與l交于點M，且MO=MB，點Q（x0，y0）在拋物線上，當m＞1時，時，求h的最大值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）點的坐標為或或；（3）最大值為4．

【解析】

（1）令y=0，轉化為一元二次方程，求出△=8（m-1）2，即可得出結論；
（2）先求出點C，D坐標，再分兩種情況，判斷出點P是CD的中垂線或CP的中垂線，即可得出結論；
（3）利用點M在拋物線對稱軸上，和MO=BM表示出點B坐標，代入拋物線解析式中，求出m，進而得出拋物線解析式，再得出，即可得出結論．

解：（1）針對于二次函數y=x2-2mx-m2+4m-2，
令y=0，則x2-2mx-m2+4m-2=0，

∴

不論取何值，

∴拋物線與軸至少有一個交點（或一定有交點）．

（2）當時，∴點、點

當時，可知點與點關于對稱，

∴點坐標為

當時，點在的垂直平分線上

∵∴點在直線上

∴解得

∴點坐標為和．

綜上，點的坐標為或或．

（3）當時，

∵

∴點的橫坐標為，則縱坐標

點，

把點代入拋物線得：

解得，（舍去）當時，

因為點在拋物線上，

∴

由題意知

∵

∴當時，隨的增大而減小，

∴當時，代數式有最大值4，

∴最大值為4．