Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A、C分別在x軸、y軸上，四邊形ABCO為矩形，AB=16，點D與點A關于y軸對稱，tan∠ACB=，∠CDE=∠CAO，點E、F分別是線段AD、AC上的動點（點E不與點A、D重合），且∠CEF=∠ACB．

（1）求AC的長和點D的坐標；

（2）證明：△AEF∽△DCE；

（3）當△EFC為等腰三角形時，求點E的坐標．

Answer 1

【考點】相似形綜合題．

【專題】綜合題；圖形的相似．

【分析】（1）由tan∠ACB的值，求出cos∠ACB的值，再由矩形ABCO，以及AB的長，求出BC與AC的長，利用對稱性確定出D坐標即可；

（2）由對稱性得到∠CDE=∠CAO，利用等式的性質得到一對角相等，利用兩角相等的三角形相似即可得證；

（3）當△EFC為等腰三角形時，有以下三種情況：當CE=EF；當EF=FC；當CE=CF時，利用相似三角形的判定與性質分別求出E坐標即可．

【解答】解：（1）由題意tan∠ACB=，

∴cos∠ACB=，

∵四邊形ABCO為矩形，AB=16，

∴BC==12，AC==20，

∴A（﹣12，0），

∵點D與點A關于y軸對稱，

∴D（12，0）；

（2）∵點D與點A關于y軸對稱，

∴∠CDE=∠CAO，

∵∠CEF=∠ACB，∠ACB=∠CAO，

∴∠CDE=∠CEF，

又∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠CDE+∠DCE，

∴∠AEF=∠DCE，

∴△AEF∽△DCE；

（3）當△EFC為等腰三角形時，有以下三種情況：

①當CE=EF時，

∵△AEF∽△DCE，

∴△AEF≌△DCE，

∴AE=CD=20，

∴OE=AE﹣OA=20﹣12=8，

∴E（8，0）；

②當EF=FC時，過點F作FM⊥CE于M，則點M為CE中點，

∴CE=2ME=2EF•cos∠CEF=2EF•cos∠ACB=EF，

∵△AEF∽△DCE，

∴=，即=，

∴AE=，

∴DE=AE﹣OA=﹣12=，

∴E（，0）；

③當CE=CF時，則有∠CFE=∠CEF，

∵∠CEF=∠ACB=∠CAO，

∴∠CFE=CAO，即此時點E與點D重合，這與已知條件矛盾，

綜上所述，E（8，0）或（，0）．

【點評】此題屬于相似形綜合題，涉及的知識有：銳角三角函數定義，相似三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵．