Question

17．如圖．點P是△ABC的外角∠EAB的平分線AF上的一點．PD垂直平分BC，PG⊥AB．求證：BG=AG+AC．

Answer 1

分析 作HP⊥CE，H為垂足，根據角平分線的性質得到PH=PG，推出Rt△APH≌Rt△APG，根據全等三角形的性質得到AH=AG，由PD垂直平分BC，得到PC=PB，證得Rt△PHC≌Rt△PGB，于是得到CH=BG，等量代換即可得到結論．

解答 證明：作HP⊥CE，H為垂足，
∵點P是△ABC的外角∠EAB的平分線AF上的一點，PG⊥AB，
∴PH=PG，
在Rt△APH與Rt△APG中，
$\left\{\begin{array}{l}{PH=PG}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴Rt△APH≌Rt△APG，
∴AH=AG，
∵PD垂直平分BC，
∴PC=PB，
在Rt△PHC與Rt△PGB中，
$\left\{\begin{array}{l}{PH=PG}\\{PC=PB}\end{array}\right.$，
∴Rt△PHC≌Rt△PGB，
∴CH=BG，
∵CH=AC+AH=AC+AG，
∴BG=AG+AC．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，角平分線的性質，線段垂直平分線的性質，正確的作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．