Question

【題目】定義：數學活動課上，樂老師給出如下定義：有一組對邊相等而另一組對邊不相等的凸四邊形叫做對等四邊形．

理解：（1）如圖1，已知A、B、C在格點（小正方形的頂點）上，請在方格圖中畫出以格點為頂點，AB、BC為邊的兩個對等四邊形ABCD；

（2）如圖2，在圓內接四邊形ABCD中，AB是⊙O的直徑，AC=BD．求證：四邊形ABCD是對等四邊形；

（3）如圖3，點D、B分別在x軸和y軸上，且D（8，0），B（0，6），點A在BD 邊上，且AB=2．試在x軸上找一點C，使ABOC是對等四邊形，請直接寫出所有滿足條件的C點坐標．

Answer 1

【答案】（1）四邊形ABCD為對等四邊形，圖見解析；

（2）四邊形ABCD是對等四邊形；

（3）C點坐標為：（2，0）或（，0）．

【解析】

試題分析：（1）根據對等四邊形的定義畫出圖形即可；

（2）根據圓周角定理得到∠ADB=90°，∠ACD=90°，根據直角三角形全等的判定定理證明Rt△ADB≌Rt△BCA，根據全等三角形的性質證明即可；

（3）分OC=AB、AC=OB兩種情況，根據平行線分線段成比例定理計算即可．

試題解析：（1）如圖1：四邊形ABCD為對等四邊形；

（2）證明：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，∠ACD=90°，

在Rt△ADB和Rt△BCA中，

，

∴Rt△ADB≌Rt△BCA，

∴AD=BC，

∴四邊形ABCD是對等四邊形；

（3）∵D（8，0），B（0，6），

∴OD=8，OB=6，∴BD=10，

∵AB=2，∴AD=8，

如圖3，當OC=AB時，C點坐標為（2，0），

如圖4，當AC=OB時，AC=6，

作AE⊥OD于E，

則AE∥OB，

∴，即，

解得，DE=，

∴，

OE=OD﹣DE=，

則OC=OE+EC=，

∴C點坐標為（，0），

∴四邊形ABOC為對等四邊形時，C點坐標為：（2，0）或（，0）．