Question

【題目】已知圓C：（x﹣1）2+y2= ，一動圓與直線x=﹣ 相切且與圓C外切． （Ⅰ）求動圓圓心P的軌跡T的方程；
（Ⅱ）若經過定點Q（6，0）的直線l與曲線T相交于A、B兩點，M是線段AB的中點，過M作x軸的平行線與曲線T相交于點N，試問是否存在直線l，使得NA⊥NB，若存在，求出直線l的方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設P（x，y），則由題意，|PC|﹣（x+ ）= ， ∴ =x+1，
化簡可得動圓圓心P的軌跡T的方程為y2=4x；
（Ⅱ）設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．
由題意，設直線l的方程為x=my+6，聯立拋物線方程可得y2﹣4my﹣24=0，
∴y1+y2=4m，y1y2=﹣24①，
∴x1+x2=4m2+12②，x1x2=36③
假設存在N（x0 ， y0），使得NA⊥NB，則y0= =2m④，
∴x0=m2⑤，
∵ =0，
∴代入化簡可得（m2+6）（3m2﹣2）=0，
∴m= ，
∴存在直線l：x= y+6，使得NA⊥NB
【解析】（Ⅰ）利用直接法，求動圓圓心P的軌跡T的方程；（Ⅱ）由題意，設直線l的方程為x=my+6，聯立拋物線方程，利用 =0，代入化簡可得（m2+6）（3m2﹣2）=0，即可得出結論．