Question

【題目】在正方形中，，點，，分別在邊，，上，且垂直.

（1）如圖1，求證：；

（2）如圖2，平移線段至線段，交于點，圖中陰影部分的面積與正方形的面積之比為，求的周長；

（3）如圖3，若，將線段繞點順時針旋轉至線段，連接，則線段的最小值為______.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）過點作的平行線交于點，交于點，利用直角三角形兩銳角互余的關系可得，利用ASA可證明，根據全等三角形的性質即可得結論；（2）根據陰影部分的面積與正方形的面積之比為可求出空白部分的面積，根據可求出△ABO的面積，設，，可得ab=4，根據勾股定理可得a2+b2=16，即可求出a+b=，進而可求出△ABO的周長；（3）過點作的平行線交于點，過B作BP//HF，交CD于P，可證明四邊形是平行四邊形，可得，設，分別用a表示出CN和CF的長，根據勾股定理表示出NF的長，利用二次函數的性質求出最小值即可.

（1）如圖，過點作的平行線交于點，交于點，

∵四邊形ABCD是正方形，點、分別在邊、上，

∴BH//GF，，，

∴四邊形是平行四邊形，

∴，

∵垂直，HF//BG，

∴垂直，

∴，

∵∠ABE=，

∴，

在和中，，

∴，

∴，

∴AE=HF.

（2）∵陰影部分的面積與正方形的面積之比為，

∴陰影部分的面積為，

∴空白部分的面積為，

由（1）得，，

∴的面積與四邊形的面積相等，

∴S△AOB=，

設，，則，即，

在中，，

∴，

∴，即，

∴，即，

∴的周長=AB+OA+OB=．

（3）過點作的平行線交于點，過B作BP//HF，交CD于P，

∵，

∴，

由（1）得，△ABN≌△BCP，BH=PF，

∴BN=CP，

∵，

∴，

∴四邊形是平行四邊形，

∴，

設，則，CP=4-2a，

∴，

∴CN=4-BN=2a，

∴，

∴當時，取得最小值.