Question

【題目】我們將能完全覆蓋某平面圖形的最小圓稱為該平面圖形的最小覆蓋圓．例如線段的最小覆蓋圓就是以線段為直徑的圓．

（1）請分別作出圖①中兩個三角形的最小覆蓋圓（要求用尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）三角形的最小覆蓋圓有何規律？請直接寫出你所得到的結論（不要求證明）；

（3）某城市有四個小區（其位置如圖②所示），現擬建一個手機信號基站，為了使這四個小區居民的手機都能有信號，且使基站所需發射功率最小（距離越小，所需功率越小），此基站應建在何處？請寫出你的結論并說明研究思路．

Answer 1

【答案】（1）圖形見解析；（2）銳角三角形的最小覆蓋圓是其外接圓，鈍角三角形的最小覆蓋圓是以其最長邊為直徑的圓，直角三角形的最小覆蓋圓二者均可．（3）的外接圓的圓心為手機信號基站所在位置．

【解析】

試題分析：（1）畫出△ABC的外接圓即可；（2）銳角三角形的最小覆蓋圓是其外接圓，鈍角三角形的最小覆蓋圓是以其最長邊為直徑的圓，直角三角形的最小覆蓋圓二者均可．（3）的外接圓的圓心為手機信號基站所在位置．

試題解析：（1）如圖所示：

（2）銳角三角形的最小覆蓋圓是其外接圓，鈍角三角形的最小覆蓋圓是以其最長邊為直徑的圓，直角三角形的最小覆蓋圓二者均可．

（說明：寫出三角形的最小覆蓋圓是其外接圓，或是以其最長邊為直徑的圓，各給1分）

（3）結論：的外接圓的圓心為手機信號基站所在位置．

研究思路：

a．手機信號基站應建在四邊形的最小覆蓋圓的圓心處；所以先考慮四邊形的外接圓，因為對角不互補，所以該四邊形沒有外接圓；

b．作四邊形對角線，將四邊形分割成兩個三角形，考慮其中一個三角形的最小覆蓋圓能否覆蓋另一個三角形，從而將四邊形最小覆蓋圓問題轉化為三角形最小覆蓋圓問題來研究；

c．若沿分割，因為，所以這兩個三角形的最小覆蓋圓均不能完全覆蓋另一個三角形；

d．若沿分割，因為，所以存在一個三角形的最小覆蓋圓能完全覆蓋另一個三角形的情況，又因為，所以的最小覆蓋圓，即其外接圓能完全覆蓋，因此的外接圓的圓心為手機信號基站所在位置．

（說明：1．學生的答案只要涉及到將四邊形問題轉化為三角形問題，可以給第6分；

2．若學生答案含有以下情況之一，并借此分析沿分割和沿分割的差異性，均可以給第7分：

①比較四邊形對角和的數量關系；

②同弧所對的圓周角的度數關系；

③畫出四個三角形的最小覆蓋圓，通過觀察或測量，比較大小后發現的外接圓的圓心為手機信號站

所在位置．

3．重在判斷學生思維的方向，不過多的要求語言的規范和思維的嚴謹．）