Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，∠BAC的平分線交⊙O于點D，交BC于點E（BE＞EC），且BD＝2．過點D作DF∥BC，交AB的延長線于點F．

（1）求證：DF為⊙O的切線；

（2）若∠BAC＝60°，DE＝，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）9﹣2π．

【解析】

（1）連結OD，根據垂徑定理得到OD⊥BC，根據平行線的性質得到OD⊥DF，根據切線的判定定理證明；
（2）連結OB，連結OD交BC于P，作BH⊥DF于H，證明△OBD為等邊三角形，得到∠ODB=60°，OB=BD=2，根據勾股定理求出PE，證明△ABE∽△AFD，根據相似三角形的性質求出AE，根據陰影部分的面積=△BDF的面積-弓形BD的面積計算．

證明：（1）連結OD，

∵AD平分∠BAC交⊙O于D，

∴∠BAD=∠CAD，

∴ ，

∴OD⊥BC，

∵BC∥DF，

∴OD⊥DF，

∴DF為⊙O的切線；

（2）連結OB，連結OD交BC于P，作BH⊥DF于H，

∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，

∴∠BAD=30°，

∴∠BOD=2∠BAD=60°，

∴△OBD為等邊三角形，

∴∠ODB=60°，OB=BD=2 ，

∴∠BDF=30°，

∵BC∥DF，

∴∠DBP=30°，

在Rt△DBP中，PD=BD= ，PB=PD=3，

在Rt△DEP中，∵PD=，DE=，

∴PE= =2，

∵OP⊥BC，

∴BP=CP=3，

∴CE=3﹣2=1，

∵∠DBE=∠CAE，∠BED=∠AEC，

∴△BDE∽△ACE，

∴AE：BE=CE：DE，即AE：5=1： ，

∴AE=

∵BE∥DF，

∴△ABE∽△AFD，

∴ ，即 ，

解得DF=12，

在Rt△BDH中，BH=BD=，

∴陰影部分的面積=△BDF的面積﹣弓形BD的面積=△BDF的面積﹣（扇形BOD的面積﹣△BOD的面積）= =9﹣2π．