Question

【題目】如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的高，CE是∠ACB的平分線．

（1）若∠A=40°，∠B=76°，求∠DCE的度數；

（2）若∠A=α，∠B=β，求∠DCE的度數(用含α，β的式子表示)；

（3）當線段CD沿DA方向平移時，平移后的線段與線段CE交于G點，與AB交于H點，若∠A=α，∠B=β，求∠HGE與α、β的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）∠DCE=18°；（2）∠DCEβα；（3）∠HGEβα．

【解析】

（1）根據三角形的內角和得到∠ACB的度數，根據角平分線的定義得到∠ECB的度數，根據余角的定義得到∠BCD=90°-∠B，于是得到結論；
（2）根據角平分線的定義得到∠ACB=180°-α-β，根據角平分線的定義得到∠ECB=∠ACB=（180°-α-β），根據余角的定義得到∠BCD=90°-∠B=90°-β，于是得到結論；
（3）運用（2）中的方法，得到∠DCE=∠ECB-∠BCD=β-α，再根據平行線的性質，即可得出結論．

（1）∵∠A=40°，∠B=76°，

∴∠ACB=64°．

∵CE是∠ACB的平分線，

∴∠ECB∠ACB=32°．

∵CD是AB邊上的高，

∴∠BDC=90°，

∴∠BCD=90°﹣∠B=14°，

∴∠DCE=∠ECB﹣∠BCD=32°﹣14°=18°；

（2）∵∠A=α，∠B=β，

∴∠ACB=180°﹣α﹣β．

∵CE是∠ACB的平分線，

∴∠ECB∠ACB(180°﹣α﹣β)．

∵CD是AB邊上的高，

∴∠BDC=90°，

∴∠BCD=90°﹣∠B=90°﹣β，

∴∠DCE=∠ECB﹣∠BCDβα；

（3）如圖所示．

∵∠A=α，∠B=β，

∴∠ACB=180°﹣α﹣β．

∵CE是∠ACB的平分線，

∴∠ECB∠ACB(180°﹣α﹣β)．

∵CD是AB邊上的高，

∴∠BDC=90°，

∴∠BCD=90°﹣∠B=90°﹣β，

∴∠DCE=∠ECB﹣∠BCDβα，

由平移可得：GH∥CD，

∴∠HGE=∠DCEβα．