Question

【題目】如圖，點O為矩形ABCD對角線BD的中點，直線EF經過點O分別與邊BC，AD交于點E， F，連接CF，若∠CEF=2∠CBD，∠CBD =30°，DC=，有下面的結論：①FD=BE；②∠EOD=150°；③BE2+AB2=AF2；④BC=6；⑤直線FC是線段OD的垂直平分線.其中正確的個數為(　 )個.

A. 2B. 3C. 4D. 5

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據矩形的性質易證△BOE≌△DOF，可得FD=BE，所以①正確；由∠CEF=∠CBO +∠BOE=2∠CBD，求出∠CBO =∠BOE=30°，可得∠EOD=150°，所以②正確；根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形AECF是平行四邊形，根據矩形的性質結合∠CBD =30°證明△OCD為等邊三角形，求出∠EOC=90°可得平行四邊形AECF是菱形，得到AE=AF，由勾股定理可得BE2+AB2=AF2，所以③正確；根據含30°直角三角形的性質可求出BC=6，故④正確；根據等角對等邊得到FO=FD，根據等邊三角形的性質得到CO=CD，可得直線FC是線段OD的垂直平分線，所以⑤正確.

解：∵AD∥BC，

∴∠FDO =∠EBO，

又∵∠FOD =∠EOB，OB=OD，

∴△BOE≌△DOF（ASA），

∴FD=BE，故①正確；

∵∠CEF=∠CBO +∠BOE=2∠CBD，

∴∠CBO =∠BOE=30°，

∴∠EOD=180°-30°=150°，故②正確；

連結AE，AC，

∵FD=BE，

∴AF=EC，

∵AD∥BC，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∵∠CBD =30°，

∴∠BDC=60°，

∵OC=OD，

∴△OCD為等邊三角形，

∴∠OCD=60°，

∴∠OCE=30°，

∵∠CEF=2∠CBD=60°，

∴∠EOC=90°，即AC⊥EF，

∴平行四邊形AECF是菱形，

∴AE=AF，

∵BE2+AB2=AE2，

∴BE2+AB2=AF2，故③正確；

∵∠CBD =30°，DC=，∠BCD=90°，

∴BC=DC=6，故④正確；

∵△BOE≌△DOF，

∴∠CBO =∠BOE=∠FDO =∠FOD，

∴FO=FD，

∵△OCD為等邊三角形，

∴CO=CD，

∴直線FC是線段OD的垂直平分線，故⑤正確，

正確的有5個，

故選：D.