Question

【題目】我國古代數學的許多發現都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”就是一例．如圖，這個三角形的構造法則：兩腰上的數都是1，其余每個數均為其上方左、右兩數之和，它給出了（a+b）n（n為正整數）的展開式（按a的次數由大到小的順序排列）的系數規律．例如，在三角形中第三行的三個數1，2，1，恰好對應（a+b）2＝a2+2ab+b2展開式中的系數；第四行的四個數1，3，3，1，恰好對應著（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b2展開式中的系數等．

（1）（a+b）n展開式中項數共有　 　項．

（2）寫出（a+b）5的展開式：（a+b）5＝　 　．

（3）利用上面的規律計算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．

Answer 1

【答案】（1）n+1；（2）a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（3）1.

【解析】

（1）根據規律，可知n+1項；

（2）根據規律，可知（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；

（3）根據規律得出原式＝（2﹣1）5．

解：（1））（a+b）n展開式中項數共有n+1項，

故答案為n+1；

（2）（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5

故答案為a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5

（3）25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1

＝25+5×24×（﹣1）+10×23×（﹣1）2+10×22×（﹣1）3+5×2×（﹣1）4+（﹣1）5

＝（2﹣1）5

＝1．