Question

【題目】已知，，，在的延長線上任取一點，過點作的平行線交的延長線于點．

(1)當時，如圖1，依題意補全圖形，直接寫出，，的數量關系；

(2)當時，如圖2，判斷，，之間的數量關系，并加以證明；

(3)當時()，請寫出，，之間的數量關系并寫出解題思路．

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3).

【解析】

（1）先根據已知條件畫出圖形，再根據等邊三角形的性質即可得出結論；

（2）如圖2，過作交延長線于點，易證四邊形為平行四邊形，為等腰直角三角形，則由等腰直角三角形的性質知，進一步即可得出結論；

（3）由(2)可知四邊形為平行四邊形，為等腰三角形，過點作于點，則，，然后在直角△BDN中，根據∠BDN的正弦可得BN、BD的關系，整理即可得出結論.

解：（1）圖形如圖1所示，

根據題意易知：△ABC與△ADE都是等邊三角形，所以，，的數量關系為：．

（2）結論：．

理由：過作交延長線于點．

∵，，∴四邊形為平行四邊形．

∴．

∵，∴．

∵，∴．

∴．∴．

∴．∴．

∵，∴．

∴為等腰直角三角形．

在中，∵，∴．

∴．

（3）結論：．

理由：如圖，輔助線同（2），則由(2)可知四邊形為平行四邊形，為等腰三角形，

過點作于點，則，．

在中，，∴.

于是．

故結論為：．