Question

【題目】如圖，已知拋物線與軸交于點，，與軸交于點，對稱軸為直線，對稱軸交軸于點.

（1）求拋物線的函數解析式；

（2）設為對稱軸上一動點，求周長的最小值；

（3）設為拋物線上一點，為對稱軸上一點，若以點為頂點的四邊形是菱形，則點的坐標為 .

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）根據拋物線上關于對稱軸對稱的點距離為2，可以直接寫出點點的坐標，再根據點的坐標代入拋物線解析式即可求出b、c的值；

（2）因為AC為定值，根據“兩點之間，線段最短”可確定P點的位置，然后用勾股定理即可求得周長的最小值；

（3）根據“菱形對角線互相垂直平分以及拋物線的對稱性”可得到點D的坐標.

（1）拋物線與軸交于點、，且，

根據對稱性，得，

∵對稱軸為直線，

∴，，

∴點、的坐標分別為、，

把、兩點坐標代入，

得到，

解得，

∴拋物線的解析式為：．

（2）如圖中，連結，與對稱軸交點則為點，連接、．

由線段垂直平分線性質，得，

∴，

∴，

根據“兩點之間，線段最短”，得周長的最小，

∵為

∴，

在中，有，

在中，有，

∴的周長的最小值為：．

（3）如圖中，當點為拋物線的頂點時，時，以點、、、為頂點的四邊形是菱形，此時點

故答案為:．