Question

【題目】如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90，AD= 2，BC= 4，.以AB為直徑作⊙O，交邊DC于E、F兩點.

(1)求證：DE=CF.

(2)求直徑AB的長.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)AB=.

【解析】

（1）首先根據AD∥BC，∠ADC=90，OH⊥DC，得出AD∥OH∥BC，進而根據OA=OB得出DH=HC，然后根據垂徑定理得出EH = HF，進而得出DE=CF；

（2）首先根據∠AGB =∠BCN = 90°，得出AG∥DC，然后根據AD∥BC，得出AD=CG.，進而得出BG，再根據三角函數得出AG，最后根據勾股定理得出AB.

(1)過點O作OH⊥DC，垂足為H.

∵AD∥BC，∠ADC=90，OH⊥DC，

∴∠BCN=∠OHC=∠ADC =90.

∴AD∥OH∥BC.

又∵OA=OB.

∴DH=HC.

∵OH⊥DC，OH過圓心，

∴EH = HF.

∴DH-EH =HC-HF.

即：DE=CF.

(2)過點A作AG⊥BC，垂足為點G，∠AGB = 90°，

∵∠AGB =∠BCN = 90°，

∴AG∥DC.

∵AD∥BC，

∴AD=CG.

∵AD= 2，BC= 4，

∴BG= BC-CG =2.

在Rt△AGB中，∵，

∴.

在Rt△AGB中，

∴AB=.