Question

如圖，直線AB與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，將直線AB繞點O順時針旋轉90°得到直線A₁B₁．
（1）在圖中畫出直線A₁B₁．
（2）求出過線段A₁B₁中點的反比例函數解析式．
（3）是否存在另一條與直線AB平行的直線y=kx+b，它與雙曲線只有一個交點，若存在，求此直線的函數解析式，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據旋轉的性質找出點A、B的對應點A₁、B₁，然后作直線A₁、B₁即可；
（2）先求出線段A₁B₁中點的坐標，然后利用待定系數法求出反比例函數解析式即可；
（3）根據直線AB求出k=2值，再根據平行線的k值相等設出與直線AB平行的直線的解析式，與反比例函數解析式聯立求解，根據非負數大于等于0求出判別式△＞0，直線與反比例函數解析式有兩個交點，所以此直線不存在．

解答：解：（1）根據題意，點A₁（0，1），B₁（2，0），
如圖，直線A₁B₁即為所求；

（2）∵點A₁（0，1），B₁（2，0），
∴線段A₁B₁中點的坐標為（1，

1

2

），
設反比例函數解析式為y=

m

x

，

m

1

=

1

2

，
解得m=

1

2

，
反比例函數解析式為y=

1

2x

；

（3）設直線AB的解析式為y=mx+n，
則

n=2 -m+n=0

，
解得

m=2 n=2

，
∴直線AB的解析式為y=2x+2，
∴與直線AB平行的直線為y=2x+b，
與反比例函數解析式聯立得，

y=2x+b y= 1 2x

，
∴4x²+2xb-1=0，
∴△=b²-4ac=（2b）²-4×4×（-1）=4b²+16，
∵b²≥0，
∴4b²+16＞0，
∴△＞0，
∴直線與反比例函數圖象有兩個交點，
∴與直線AB平行與雙曲線只有一個交點的直線不存在．

點評：本題綜合考查了一次函數的問題，待定系數法求函數解析式，兩直線的平行問題，利用旋轉變換作圖，以及兩函數圖象的交點問題的求解，利用根的判別式判斷交點是解題的關鍵．