Question

【題目】傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數學家經常在沙灘上研究數學問題，他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數，比如，他們研究過1,3,6,10，……，由于這些數可以用圖中所示的三角形點陣標表示，他們就將其稱為三角形數，第n個三角形數可以用表示.

請根據以上材料，證明以下結論：

(1)任意一個三角形數乘8再加1是一個完全平方數；

(2)連續兩個三角形數的和是一個完全平方數.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）第n個三角形數乘8再加1，再利用完全平方公式整理得出答案即可；
（2）分別用n表示出第n、n＋1個三角形數，進一步相加整理得出答案即可．

(1)∵.

∴任意一個三角形數乘以8再加上1是一個完全平方數.

∵第個三角形數為，第個三角形數為.

∴這兩個三角形數的和為

＝4n2＋4n＋1＝（2n＋1）2，
∴任意一個三角形數乘8再加1是一個完全平方數；
（2）∵第n個三角形數為，第n＋1個三角形數為，
∴這兩個三角形數的和為：＋＝＝（n＋1）2，
即連續兩個三角形數的和是一個完全平方數．