Question

【題目】探究：如圖①，點A在直線MN上，點B在直線MN外，連結AB，過線段AB的中點P作PC∥MN，交∠MAB的平分線AD于點C，連結BC，求證：BC⊥AD．

應用：如圖②，點B在∠MAN內部，連結AB，過線段AB的中點P作PC∥AM，交∠MAB的平分線AD于點C；作PE∥AN，交∠NAB的平分線AF于點E，連結BC、BE．若∠MAN＝150°，則∠CBE的大小為______度．

Answer 1

【答案】探究：證明見解析；應用：150．

【解析】

探究：根據角平分線的定義和平行線的性質得出∠PCA=∠PAC，根據等角對等邊得出PC=PA，再得出PC=PB，利用三角形的內角和證明即可；

應用：根據探究中的證明得出∠BAC+∠BAE+∠CBA+∠ABE=180°，再由角平分線得出∠BAC+∠BAE=75°，最后得出答案即可．

解：探究：∵PC∥MN，

∴∠PCA=∠MAC．

∵AD為∠MAB的平分線，

∴∠MAC=∠PAC．

∴∠PCA=∠PAC，

∴PC=PA．

∵PA=PB，

∴PC=PB，

∴∠B=∠BCP．

∵∠B+∠BCP+∠PCA+∠PAC=180°，

∴∠BCA=90°，

∴BC⊥AD；

應用：∵∠MAB的平分線AD，∠NAB的平分線AF，∠MAN=150°，

∴∠BAC+∠BAE=75°，

由探究得：∠BAC+∠BAE+∠CBA+∠ABE=180°，

∴∠CBE=∠CBA+∠ABE=180°﹣75°=105°

故答案為：105．