Question

【題目】如圖在直角坐標平面內，拋物線與軸交于點A，與x軸分別交于點B（-1，0）、點C（3，0），點D是拋物線的頂點.

（1）求拋物線的表達式及頂點D的坐標；

（2）連接AD、DC，求的面積；

（3）點P在直線DC上，聯結OP，若以O、P、C為頂點的三角形與△ABC相似，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-2x-3，（1，-4）（2）3（3）

【解析】試題分析：

（1）把點B、C的坐標代入所給解析式列出關于a、b的方程組，解方程組求得a、b的值即可得到所求所求解析式；

（2）由（1）中所得解析式可得求得點D的坐標，這樣由兩點間的距離公式可求得AC、CD、AD的長，結合勾股定理的逆定理可得△ACD是直角三角形，即可求得其面積了；

（3）如下圖，由已知先證△CAD∽△AOB，進一步可證得∠BAC=∠BCD，結合△ABC是銳角三角形可知，若△OPC與它相似，則△OPC也是銳角三角形，則點P只能在第四象限，由點C、D的坐標可求得直線CD的解析式為，由此可得設點P的坐標為（0<t<3），過點P作PH⊥OC于點H，則OH=t，PH=6-2t，然后分①當∠POC=∠ABC，時,由tan∠POC=tan∠ABC得和②當∠POC=∠ACB時，由tan∠POC=tan∠ACB=tan45°=1得即可分別解得對應的t的值，從而求得點P的坐標.

試題解析：

（1）點B（-1，0）、C（3，0）在拋物線上

∴，解得 ，

∴拋物線的表達式為，

∵，

∴頂點D的坐標是（1，-4）

（2）如下圖，∵A（0，-3），C（3，0），D（1，-4），

∴AC=，CD=，AD=，

∴CD2=AC2+AD2，

∴∠CAD=90°，

∴S△ACD=AC·AD=3；

（3）如下圖，∵∠CAD=∠AOB=90°，，

∴△CAD∽△AOB，

∴∠ACD=∠OAB，

∵OA=OC，∠AOC=90°，

∴∠OAC=∠OCA=45°，

∴∠OAC+∠OAB=∠OCA+∠ACD，即∠BAC=∠BCD，

若以O、P、C為頂點的三角形與△ABC相似 ，且△ABC為銳角三角形

則△POC也為銳角三角形，點P在第四象限，

由點C（3，0），D（1，-4）得直線CD的表達式是，設P（0<t<3），

過P作PH⊥OC，垂足為點H，則OH=t，PH=6-2t，

①當∠POC=∠ABC時，由tan∠POC=tan∠ABC得，

∴，解得，

∴P1；

②當∠POC=∠ACB時，由tan∠POC=tan∠ACB=tan45°=1得，

∴ ，解得，

∴P2，

綜上得P1或P2.