Question

3．如圖，以邊長為$\sqrt{2}$的正方形ABCD的對角線所在直線建立平面直角坐標系，拋物線y=x²+bx+c經過點B與直線AB只有一個個公共點．
（1）求直線AB的解析式；
（2）求拋物線y=x²+bx+c的解析式；
（3）若點P為（2）中拋物線上一點，過點P作PM⊥x軸于點M，問是否存在這樣的點P，使△PMC成為等腰直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（4）過點D的直線y=mx+1與拋物線y=x²+bx+c交點的橫坐標分別是e和f，其中e＜-$\frac{1}{2}$，f＞3，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）首先求出A，B，C，D的坐標，運用待定系數法求出直線AB即可；
（2）根據一個公共點，聯立直線與拋物線，根據△=0，即可求解；
（3）設出點P坐標，表示兩條直角邊，根據等腰直角三角形列出方程即可；
（4）求出當橫坐標為-$\frac{1}{2}$，和3時的交點坐標，根據題意分析列出不等式求解即可．

解答 解：如圖1

（1）由正方形ABCD的邊長為$\sqrt{2}$，可求：AC=BD=2，0A=OB=OC=OD=1，
∴A（-1，0），B（0，-1），C（1，0），D（0，1），
設直線AB的解析式為：y=kx+p，把A（-1，0），B（0，-1）代入得，
$\left\{\begin{array}{l}{0=-k+p}\\{-1=p}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{p=-1}\end{array}\right.$，
所以直線AB的解析式為：y=-x-1；
（2）把B（0，1）代入拋物線y=x²+bx+c得，c=-1，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-1}\\{y={x}^{2}+bx-1}\end{array}\right.$，
得：x²+（b+1）x=0，
當△=（b+1）²=0時，
解得：b=-1，
∴拋物線的解析式為：y=x²-x-1；
（3）如圖2

設點P（m，m²-m-1），
由題意可得：|m²-m-1|=|m-1|
所以有：m²-m-1=m-1，或m²-m-1=-m+1，
解得：m=2，或m=0，或m=$\sqrt{2}$或m=$-\sqrt{2}$，
此時：m²-m-1的對應的值為：1，-1，$-\sqrt{2}+1$，$\sqrt{2}+1$，
∴點P的坐標為：（2，1），（0，-1），（$\sqrt{2}$，$-\sqrt{2}+1$），（$-\sqrt{2}$，$\sqrt{2}+1$），
（4）由過點D的直線y=mx+1與拋物線y=x²-x-1點的橫坐標分別是e和f，
當x=3時，y=x²-x-1=5，當x=-$\frac{1}{2}$時，y=x²-x-1=-$\frac{1}{4}$，
由e＜-$\frac{1}{2}$，f＞3，得：$-\frac{1}{2}$m+1＞-$\frac{1}{4}$，3m+1＞5，
解得：$\frac{4}{3}＜m＜\frac{5}{2}$．

點評 此題主要考查二次函數的綜合問題，熟悉正方形的性質，會運用待定系數法求解析式，知道等腰直角三角形的性質并會運用列方程求解是解題的關鍵．