Question

14．△ABC是一塊等邊三角形的廢鐵片，利用其剪裁一個正方形DEFG，使正方形的一條邊DE落在BC上，頂點F、G分別落在AC、AB上．
Ⅰ．證明：△BDG≌△CEF；
Ⅱ．探究：怎樣在鐵片上準確地畫出正方形．
小聰和小明各給出了一種想法：
（1）小聰想：要畫出正方形DEFG，只要能計算出正方形的邊長就能求出BD和CE的長，從而確定D點和E點，再畫正方形DEFG就容易了．設△ABC的邊長為2，請你幫小聰求出正方形的邊長（結果用含根號的式子表示，不要求分母有理化）．
（2）小明想：不求正方形的邊長也能畫出正方形．具體作法是：
①在AB邊上任取一點G′，如圖2作正方形G′D′E′F′；
②連接BF′并延長交AC于點F；
③過點F作FE∥F′E′交BC于點E，FG∥F′G′交AB于點G，GD∥G′D′交BC于點D，則四邊形DEFG即為所求的正方形．你認為小明的作法正確嗎？說明理由．

Answer 1

分析 Ⅰ、根據正方形的性質可以得到GD=FE，∠GDB=∠FEC=90°，利用等邊三角形得到∠B=∠C=60°，然后利用全等三角形的判定定理就可以證明了；
Ⅱ（1）設正方形的邊長為x，作△ABC的高AH，可以求出AH的長，然后根據△AGF∽△ABC利用其對應邊成比例可以列出關于x的方程，然后求出x，也就求出了正方形邊長；
（2）首先作一個正方形，然后利用位似圖形作圖就可以得到正方形DEFG，利用作法中的平行線可以得到比例線段，再根據比例線段就可以證明所作的圖形是正方了．

解答 Ⅰ證明：∵四邊形DEFG為正方形，
∴GD=FE，∠GDB=∠FEC=90°，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°，
在△BDG和△CEF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠GDB=∠FEC}\\{∠B=∠C}\\{GD=EF}\end{array}\right.$，
∴△BDG≌△CEF（AAS）；

Ⅱ解：（1）設正方形的邊長為x，作△ABC的高AH，
∵△ABC等邊三角形，
∴BH=CH=$\frac{1}{2}$BC=1，
∴AH=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∵GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴$\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}-x}{\sqrt{3}}$，
解之得：x=4$\sqrt{3}$-6，

（2）正確，
由已知可知，四邊形GDEF為矩形，
∵FE∥F′E′，
∴△BE′F′∽△BEF，
∴$\frac{FE}{F′E′}$=$\frac{FB}{F′B′}$
同理$\frac{FG}{F′G′}$=$\frac{FB}{F′B′}$
∴$\frac{FE}{F′E′}$=$\frac{FG}{F′G′}$
又∵F′E′=F′G′，
∴FE=FG
∴矩形GDEF為正方形．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，正方形的性質，等邊三角形的性質，勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．