Question

9．如圖所示，在平面直角坐標系中，已知一次函數y=$\frac{1}{2}$x+1的圖象與x軸，y軸分別交于A，B兩點，以AB為邊在第二象限內作正方形ABCD．
（1）求邊AB的長；
（2）求點C，D的坐標；
（3）在x軸上是否存在點M，使△MDB的周長最�。咳舸嬖�，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）在直角三角形AOB中，由OA與OB的長，利用勾股定理求出AB的長即可；
（2）過C作y軸垂線，過D作x軸垂線，分別交于點E，F，可得三角形CBE與三角形ADF與三角形AOB全等，利用全等三角形對應邊相等，確定出C與D坐標即可；
（3）作出B關于x軸的對稱點B′，連接B′D，與x軸交于點M，連接BD，BM，此時△MDB周長最小，求出此時M的坐標即可．

解答 解：（1）對于直線y=$\frac{1}{2}$x+1，令x=0，得到y=1；令y=0，得到x=-2，
∴A（-2，0），B（0，1），
在Rt△AOB中，OA=2，OB=1，
根據勾股定理得：AB=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$；   
（2）作CE⊥y軸，DF⊥x軸，可得∠CEB=∠AFD=∠AOB=90°，

∵正方形ABCD，
∴BC=AB=AD，∠DAB=∠ABC=90°，
∴∠DAF+∠BAO=90°，∠ABO+∠CBE=90°，
∵∠DAF+∠ADF=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠BAO=∠ADF=∠CBE，
∴△BCE≌△DAF≌ABO，
∴BE=DF=OA=2，CE=AF=OB=1，
∴OE=OB+BE=2+1=3，OF=OA+AF=2+1=3，
∴C（-1，3），D（-3，2）；
（3）找出B關于x軸的對稱點B′，連接B′D，與x軸交于點M，此時△BMD周長最小，

∵B（0，1），
∴B′（0，-1），
設直線B′D的解析式為y=kx+b，
把B′與D坐標代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{-3k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，即直線B′D的解析式為y=-x-1，
令y=0，得到x=-1，即M（-1，0）．

點評 此題屬于一次函數綜合題，涉及的知識有：待定系數法確定一次函數解析式，正方形的性質，全等三角形的判定與性質，一次函數與坐標軸的交點，勾股定理，熟練掌握定理及性質是解本題的關鍵．