Question

【題目】已知二次函數圖象的頂點坐標為M（1，0），直線y＝x+m與該二次函數的圖象交于A，B兩點，其中A點的坐標為（3，4），B點在y軸上．P（a，0）是x軸上的一個動點，過P作x軸的垂線分別與直線AB和二次函數的圖象交于D、E兩點．

（1）求m的值及這個二次函數的解析式；

（2）若點P的橫坐標為2，求△ODE的面積；

（3）當0＜a＜3時，求線段DE的最大值；

（4）若直線AB與拋物線的對稱軸交點為N，問是否存在一點P，使以M、N、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出此時P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）m＝1，y＝x2﹣2x+1；（2）S△ODE＝2；（3）DE的最大值為；（4）滿足題意的點P是存在的，坐標為（2，0）或（，0）或（，0）．

【解析】

（1）直線y=x+m 經過點A（3，4），4=3+m，m=1，二次函數圖象的頂點坐標為M（1，0），即可求解；

（2）把x=2代入y=x2-2x+1 得y=1，E（2，1），把x=2代入y=x+1得y=3，D（2，3），即可求解；

（3）由題意得D（a，a+1），E（a，a2-2a+1），DE=（a+1）-（a2-2a+1）=-（a）2+，即可求解；

（4）分兩種情況：D點在E點的上方、D點在E點的下方，分別求解即可．

解：（1）∵直線y＝x+m 經過點A（3，4），

∴4＝3+m，

∴m＝1，

∵二次函數圖象的頂點坐標為M（1，0），

∴設y＝a（x﹣1）2

∵拋物線經過A（3，4），

∴a＝1，

∴y＝x2﹣2x+1；

（2）把x＝2代入y＝x2﹣2x+1 得y＝1，

∴E（2，1），

把x＝2代入y＝x+1得y＝3，

∴D（2，3），

∴DE＝3﹣1＝2

∴S△ODE＝2；

（3）由題意得D（a，a+1），E（a，a2﹣2a+1），

∴DE＝（a+1）﹣（a2﹣2a+1）＝﹣（a）2+，

∴當a＝（屬于0＜a＜3 范圍）時，DE的最大值為；

（4）∵直線AB：y＝x+1，N（1，2），

∴MN＝2，

∵要使四邊形為平行四邊形只要DE＝MN．

∴分兩種情況：

①D點在E點的上方，則

DE＝（a+1）﹣（a2﹣2a+1）＝﹣a2+3a，

∴﹣a2+3aspan>＝2，

∴a＝1（舍去）或a＝2；

②D點在E點的下方，則 DE＝a2﹣3a＝2，

∴a＝或；

綜上所述，滿足題意的點P是存在的，坐標為（2，0）或（，0）或（，0）．