Question

【題目】已知二次函數圖象的頂點在原點，對稱軸為軸．一次函數的圖象與二次函數的圖象交于兩點（在的左側），且點坐標為．平行于軸的直線過點．

（1）求一次函數與二次函數的解析式；

（2）判斷以線段AB為直徑的圓與直線的位置關系，并給出證明；

（3）把二次函數的圖象向右平移 2 個單位，再向下平移 t 個單位（t＞0），二次函數的圖象與x 軸交于 M，N 兩點，一次函數圖象交y 軸于 F 點．當 t 為何值時，過 F，M，N 三點的圓的面積最小？最小面積是多少？

Answer 1

【答案】（1）一次函數的解析式為；二次函數解析式為．

（2）相切，證明見解析

（3）當時，過三點的圓面積最小，最小面積為．

【解析】

把代入得

一次函數的解析式為

二次函數圖象的頂點在原點,對稱軸為軸，

二次函數的解析式為,將代入解析式得

二次函數的解析式為

由解得或，，取的中點，

過作直線的垂線,垂足為,則

，而直徑

，即圓心到直線的距離等于半徑，

以為直徑的圓與直線相切.

平移后二次函數的解析式為,

令得

過三點的國的圓心一定在平移后拋物線的對稱軸.上,要使圓面積最小,圓半徑應等于點到直線2的距離,點坐標為.

此時,半徑為,面積為

設圓心為的中點為,連接,則，

在三角形中，

，而

當時，過三點的圓面積最小,最小面積為.