Question

15．如圖①，△ABC和△ECD都是等邊三角形，且點B、C、D在同一直線上，連接BE，AD．
（1）求證：BE=AD；
（2）如圖②，點P為線段BE上一點，點F為線段AD上一點，AF=BP，連接AP，CP，PF，若PF⊥AD，求∠BPC的度數；
（3）如圖③，若點P在線段BE上，點Q在線段AD上，且BP=AQ，將線段CD沿AD翻折得到C′D，當∠BPC等于多少度時，△QCC′為等邊三角形？直接寫出你的結論．

Answer 1

分析 （1）利用等邊三角形的性質和已知條件證明△ACD≌△BCE即可；
（2）連接CF，由AD=BE，AF=BP，得到PE=FD，根據全等三角形的性質得到∠ADC=∠BEC，CE=CD，推出△FDC≌△PEC，根據全等三角形的性質得到∠CPE=∠CFD，∠DBE=∠CAD，得到∠PCF=60°，證得△PCF是等邊三角形，求出∠FPC=60°，根據三角形的內角和得到∠FPM=30°，即可得到結論；
（3）如圖③，由C與C′關于AD對稱，得到CC′⊥AD，由△C′QC是等邊三角形，求得∠QCC′=60°，于是得到結論．

解答 證明：（1）∵△ABC和△ECD都是等邊三角形，
∴AC=BC，EC=DC，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD于△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE；

（2）解：如圖②連接CF，
∵AD=BE，AF=BP，
∴AD-AF=BE-BP，
∴PE=FD，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，CE=CD，
在△FDC與△PEC中，$\left\{\begin{array}{l}{PE=DF}\\{∠FDC=∠PEC}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△FDC≌△PEC，
∴∠CPE=∠CFD，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠DBE=∠CAD，
∴∠BMA=∠EBD+∠ADB=60°，
∴∠PCF=60°，
∴△PCF是等邊三角形，
∴∠FPC=60°，
∵PF⊥AD，∠FMP=60°，
∴∠FPM=30°，
∴∠CPM=30°，
∴∠BPC=180°-30°=150°；

（3）解：如圖③，∵C與C′關于AD對稱，
∴CC′⊥AD，
∵△C′QC是等邊三角形，
∴∠QCC′=60°，
∴∠CQD=30°，
在△BPC與△ACQ中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠CBP=∠CAQ}\\{BP=AQ}\end{array}\right.$，
∴△BPC≌△ACQ，
∴∠BCP=∠ACQ，
∴∠PCQ=∠BCA=60°，
∴∠PCE=60°+∠QCE=∠DCQ，
∵∠QDC=∠PEC，
∴∠CQD=∠CPE=30°
∴∠BPC=150°．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質，對稱的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．