Question

3．已知拋物線C₁的解析式為y=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，拋物線與x軸交于A，B兩點（A在B在左邊）與y軸于C點．
（1）求點A、B、C的坐標；
（2）將拋物線C₁平移得到拋物線C₂，且C₂經過C₁上一點P（2，m）C₂交y軸于Q，當PQ與y軸相交所成的銳角為45°時，求C₂的解析式；
（3）將拋物線C₁沿直線BC平移，與射線AC僅有一個公共點，求拋物線頂點橫坐標的取值或取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分別令x=0求出y，令y=0求出x即可．
（2）根據以及求出Q點坐標，再用待定系數法求出拋物線的解析式．
（3）①列出方程組根據△=0求解．②由圖象可知向下平移便可以確定拋物線頂點的橫坐標的范圍．

解答 解：（1）當y=0時，$\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2=0$解得x₁=-2，x₂=-4，
故A（-4，0），B（-2，0），
當x=0時，y=2，故C（0，2）．
（2）設平移后的拋物線C₂為：y=$\frac{1}{4}$x²+bx+c．
∵x=2
∴y=$\frac{1}{4}×（2）^{2}+\frac{3}{2}×2+2$=6，
∴P（2，6），
∵PQ與y軸的夾角為45°，
∴Q₁（0，8），Q₂（0，4），
①將P（2，6），Q₁（0，8）代入y=$\frac{1}{4}$x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{c=8}\\{1+2b+c=6}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{3}{2}}\\{c=8}\end{array}\right.$，
∴拋物線C₂為y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+8．
②將P（2，6），Q₂（0，4）代入y=$\frac{1}{4}$x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{1+2b+c=6}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{1}{2}}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴拋物線C₂為y=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+4．
（3）由題意可知直線AC為：y=$\frac{1}{2}$x+2，直線BC為y=x+1，
∵拋物線沿直線BC平移，拋物線y=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+2的頂點為（-3，-$\frac{1}{4}$），
∴可以設平移后的拋物線為y=$\frac{1}{4}$（x+3-m）²+m-$\frac{1}{4}$，
①由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+2}\\{y=\frac{1}{4}（x+3-m）^{2}+m-\frac{1}{4}}\end{array}\right.$消去y得$\frac{1}{4}$x²+（1-$\frac{m}{2}$）x+$\frac{1}{4}$m²-$\frac{1}{2}m$=0，
由題意：△=0，（1-$\frac{m}{2}$）²-4×$\frac{1}{4}×（\frac{1}{4}{m}^{2}-\frac{1}{2}m）$=0，解得m=2，
此時拋物線為y=$\frac{1}{4}$（x+1）²+$\frac{7}{4}$，
∴拋物線頂點的橫坐標為-1．
②由圖象可知將拋物線C₁沿直線BC向下平移拋物線與射線AC也只有一個交點，當拋物線經過點A（-4，0）時，
$\frac{1}{4}（-m-1）^{2}+m-\frac{1}{4}$=0，解得m=-6（或0舍棄），
∵m=-6時，頂點的橫坐標是-9
∴平移后的拋物線頂點的橫坐標為x，則-9≤x＜-3．
綜上所述滿足條件的拋物線橫坐標W為x，則x=-1或-9≤x＜-3．

點評 本題考查待定系數法求二次函數的解析式、拋物線的平移等有關知識，要求學會求拋物線與坐標軸的交點坐標，會利用判別式確定兩個函數的交點個數．