Question

8．如圖1，是午休時老師們所用的一種折疊椅．把折疊椅完全平躺時如圖2，長度MC=180厘米，AM=50厘米，B是CM上一點，現將躺椅如圖3傾斜放置時，AM與地面ME成45°角，AB∥ME，椅背BC與水平線成30°角，其中BP是躺椅的伸縮支架，其與地面的夾角不得小于30°．
（1）若點B恰好是MC的黃金分割點（MB＞BC），人躺在上面才會比較舒適，求此時點C與地面的距離．（結果精確到1厘米）
（2）午休結束后，老師會把AM和伸縮支架BP收起緊貼AB，在（1）的條件下，求伸縮支架BP可達到的最大值．（結果精確到1厘米）（參考數據：$\sqrt{2}$≈1.4，$\sqrt{3}$≈1.7，$\sqrt{5}$≈2.2）

Answer 1

分析 （1）根據點B恰好是MC的黃金分割點，算出BC的長度，再由∠AME=45°、∠CBD=30°，即可求得CE的長度；
（2）由物理力學知識能夠知道30°＜∠BPM＜90°，在此范圍內正弦函數單調遞增，由此可得知當∠BPM接近30°時，BP最長，借助特殊角的三角函數值即可得出結論．

解答 解：（1）∵點B是MC的黃金分割點（MB＞BC），
∴$\frac{MB}{MC}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$≈0.6，$\frac{BC}{MC}$=$\frac{MC-AB}{MC}$≈1-0.6≈0.4，
∵MC=180厘米，
∴BC≈0.4×180≈72厘米，
CE=CD+DE=MA•sin45°+BC•sin30°=50×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+72×$\frac{1}{2}$≈71厘米．
答：此時點C與地面的距離約為71厘米．
（2）∵30°＜∠BPM，且∠BPM＜90°（物理力學知識得知），
∴sin∠BPM在其取值范圍內為單調遞增函數，
又∵BP=$\frac{DE}{sin∠BPM}$，
∴當∠BPM接近30°時，BP最大，此時BP=$\frac{DE}{sin30°}$=$\frac{MA•sin45°}{sin30°}$≈70厘米．
答：伸縮支架BP可達到的最大值約為70厘米．

點評 本題考查了解直角三角形的應用，解題的關鍵是：（1）知道黃金比例的數值；（2）利用物理常識找到30°＜∠BPM＜90°，根據正弦函數的單調性即可求出結論．