Question

5．如圖，直線y=-x+b與反比例函數y=$\frac{k}{x}$的圖象相交于A（1，4），B兩點，延長AO交反比例函數圖象于點C，連接OB．
（1）求k和b的值；
（2）直接寫出一次函數值小于反比例函數值的自變量x的取值范圍；
（3）在y軸上是否存在一點P，使S_△PAC=$\frac{2}{5}$S_△AOB？若存在請求出點P坐標，若不存在請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由待定系數法即可得到結論；
（2）根據圖象中的信息即可得到結論；
（3）過A作AM⊥x軸，過B作BN⊥x軸，由（1）知，b=5，k=4，得到直線的表達式為：y=-x+5，反比例函數的表達式為：$y=\frac{4}{x}$列方程$-x+5=\frac{4}{x}$，求得B（4，1），于是得到${S_{△AOB}}={S_{四邊形ANMB}}=\frac{1}{2}（AN+BM）MN=\frac{1}{2}（1+4）×3=\frac{15}{2}$，由已知條件得到${S_{△PAC}}=\frac{2}{5}×\frac{15}{2}=3$，過A作AE⊥y軸，過C作CD⊥y軸，設P（0，t），根據三角形的面積公式列方程即可得到結論．

解答 解：（1）將A（1，4）分別代入y=-x+b和$y=\frac{k}{x}$
得：4=-1+b，4=$\frac{k}{1}$，解得：b=5，k=4；

（2）一次函數值小于反比例函數值的自變量x的取值范圍為：x＞4或0＜x＜1，

（3）過A作AN⊥x軸，過B作BM⊥x軸，
由（1）知，b=5，k=4，
∴直線的表達式為：y=-x+5，反比例函數的表達式為：$y=\frac{4}{x}$
由$-x+5=\frac{4}{x}$，解得：x=4，或x=1，
∴B（4，1），
∴${S_{△AOB}}={S_{四邊形ANMB}}=\frac{1}{2}（AN+BM）MN=\frac{1}{2}（1+4）×3=\frac{15}{2}$，
∵${S_{△PAC}}=\frac{2}{5}{S_{{△_{AOB}}}}$，
∴${S_{△PAC}}=\frac{2}{5}×\frac{15}{2}=3$，
過A作AE⊥y軸，過C作CD⊥y軸，設P（0，t），
∴S_△PAC=$\frac{1}{2}$OP•CD+$\frac{1}{2}$OP•AE=$\frac{1}{2}$OP（CD+AE）=|t|=3，
解得：t=3，t=-3，
∴P（0，3）或P（0，-3）．

點評 本題考查了一次函數與反比例函數的交點問題，三角形的面積的計算，待定系數法求函數的解析式，正確的作出輔助線是解題的關鍵．