Question

如圖，△PQR和△P′Q′R′，是兩個全等的等邊三角形，它們的重疊部分是一個六邊形ABCDEF，設這個六邊形的邊長為AB=a₁，BC=b₁，CD=a₂，DE=b₂，EF=a₃，FA=b₃．求證：a₁²+a₂²+a₃²=b₁²+b₂²+b₃²．

Answer 1

解：如右圖所示，
∵△PQR和△P′Q′R′是等邊三角形，
∴∠P=∠Q=∠R=∠P′=∠Q′=∠R′=60°，
又∵∠ABP′=∠CBQ，∠BCQ=∠DCQ′，∠Q′DC=∠EDR，
∠DER=∠FER′，∠EFR′=∠AFP，∠FAP=∠BAP′，
∴△AP′B∽△CQB∽△CQ′D∽△ERD∽△ER′F∽△APF，
它們的面積比是相似比的平方，設比例系數為k，
則S_△AP′B=AB²k=a₁²•k，S_△CQB=CB²•k=b₁²•k，
S_△CQ′D=CD²•k=a₂²•k，S_△ERD=ED²•k=b₂²•k，
S_△ER′F=EF²•k=a₃²•k，S_△APF=FA²•k=b₃²•k，
由于兩正三角形重疊部分應有相等面積，
故（a₁²+a₂²+a₃²）k=（b₁²+b₂²+b₃²）k，
即a₁²+a₂²+a₃²=b₁²+b₂²+b₃²．
分析：根據△PQR和△P′Q′R′是等邊三角形，求證△AP′B∽△CQB∽△CQ′D∽△ERD∽△ER′F∽△APF，利用它們的面積比是相似比的平方，設比例系數為k，由于兩正三角形重疊部分應有相等面積，故（a₁²+a₂²+a₃²）k=（b₁²+b₂²+b₃²）k，即可證明．
點評：此題考查學生對相似三角形的判定與性質和等邊三角形的性質的理解和掌握，但是此題步驟繁瑣，特別是多個三角形相似，而且用到相似比是面積比的平方，更給此題增加了難度，因此屬于難題，