【題目】如圖1所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,點D是線段CA延長線上一點,且AD=AB.點F是線段AB上一點,連接DF,以DF為斜邊作等腰Rt△DFE,連接EA,EA滿足條件EA⊥AB.
(1)若∠AEF=20°,∠ADE=50°,AC=2,求AB的長度;
(2)求證:AE=AF+BC;
(3)如圖2,點F是線段BA延長線上一點,探究AE、AF、BC之間的數量關系,并證明.
【答案】(1);(2)見解析;(3)AE+AF=BC
【解析】
試題分析:(1)在等腰直角三角形DEF中,∠DEF=90°,求得∠1=20°,根據余角的定義得到∠2=∠DEF﹣∠1=70°,根據三角形的內角和得到∠3=60°,∠4=30°根據三角函數的定義得到cos∠4=,于是得到結論;
(2)如圖1,過D作DM⊥AE于D,在△DEM中,由余角的定義得到∠2+∠5=90°,由于∠2+∠1=90°,推出∠1=∠5證得△DEM≌△EFA,根據全等三角形的性質得到AF=EM,根據三角形的內角和和余角的定義得到∠3=∠B,推出△DAM≌△ABC,根據全等三角形的性質得到BC=AM即可得到結論;
(3)如圖2,過D作DM⊥AE交AE的延長線于M根據余角的定義和三角形的內角和得到∠2=∠B,證得△ADM≌△BAC,由全等三角形的性質得到BC=AM,由于EF=DE,∠DEF=90°,推出∠4=∠5,證得△MED≌△AFE,根據全等三角形的性質得到ME=AF,即可得到結論.
解:(1)在等腰直角三角形DEF中,∠DEF=90°,
∵∠1=20°,
∴∠2=∠DEF﹣∠1=70°,
∵∠EDA+∠2+∠3=180°,
∴∠3=60°,
∵EA⊥AB,
∴∠EAB=90°,
∵∠3+∠EAB+∠A=180°,
∴∠4=30°,
∵∠C=90°,
∴cos∠4=,
∴AB==
=
;
(2)如圖1,過D作DM⊥AE于D,在△DEM中,∠2+∠5=90°,
∵∠2+∠1=90°,
∴∠1=∠5,
∵DE=FE,
在△DEM與△EFA中,
,
∴△DEM≌△EFA,
∴AF=EM,
∵∠4+∠B=90°,
∵∠3+∠EAB+∠4=180°,
∴∠3+∠4=90°,
∴∠3=∠B,
在△DAM與△ABC中,
,
∴△DAM≌△ABC,
∴BC=AM,
∴AE=EM+AM=AF+BC;
(3)如圖2,過D作DM⊥AE交AE的延長線于M,
∵∠C=90°,
∴∠1+∠B=90°,
∵∠2+∠MAB+∠1=180°,∠MAB=90°,
∴∠2+∠1=90°,∠2=∠B,
在△ADM與△BAC中,
,
∴△ADM≌△BAC,
∴BC=AM,
∵EF=DE,∠DEF=90°,
∵∠3+∠DEF+∠4=180°,
∴∠3+∠4=90°,
∵∠3+∠5=90°,
∴∠4=∠5,
在△MED與△AFE中,
,
∴△MED≌△AFE,
∴ME=AF,
∴AE+AF=AE+ME=AM=BC,
即AE+AF=BC.
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【題目】下列命題是假命題的是( )
A.經過兩點有且只有一條直線
B.三角形的中位線平行且等于第三邊的一半
C.平行四邊形的對角線相等
D.圓的切線垂直于經過切點的半徑
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【題目】下列三條線段中(單位長度都是cm),能組成三角形的是( )
A. 3,4,9 B. 50,60,12 C. 11,11,31 D. 20,30,50
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【題目】某工程隊修建一條總長為1860米的公路,在使用舊設備施工17天后,為盡快完成任務,工程隊引進了新設備,從而將工作效率提高了50%,結果比原計劃提前15天完成任務.
(1)工程隊在使用新設備后每天能修路多少米?
(2)在使用舊設備和新設備工作效率不變的情況下,工程隊計劃使用舊設備m天,使用新設備n(16≤n≤26)天修建一條總長為1500米的公路,使用舊設備一天需花費16000元,使用新設備一天需花費25000元,當m、n分別為何值時,修建這條公路的總費用最少,并求出最少費用.
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【題目】平面直角坐標系中,點A(m,﹣2)、B(1,n﹣m)關于x軸對稱,則m、n的值為( 。
A. m=1,n=1 B. m=﹣1,n=1 C. m=1,n=3 D. m=1,n=﹣3
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【題目】隨著居民經濟收入的不斷提高以及汽車業的快速發展,家用汽車已越來越多地進入普通家庭,抽樣調查顯示,截止2015年底某市汽車擁有量為16.9萬輛.己知2013年底該市汽車擁有量為10萬輛,設2013年底至2015年底該市汽車擁有量的平均增長率為x,根據題意列方程得( )
A.10(1+x)2=16.9 B.10(1+2x)=16.9 C.10(1﹣x)2=16.9 D.10(1﹣2x)=16.9
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