Question

【題目】如圖，△ABC是邊長為m的正三角形，D，E，F分別在邊AB，BC，CA上，AE，BF交于點P，BF，CD交于點Q，CD，AE交于點R，若 = = =k（0＜k＜ ）．

（1）求∠PQR的度數；
（2）求證：△ARD∽△ABE；
（3）求△PQR與△ABC的面積之比（用含k的代數式表示）

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵ = = =k，△ABC是等邊三角形，

∴AB=CB=AC，∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，AD=BE=CF，

∴△ABE≌△BCF≌△CAD，

∴∠BAE=∠CBQ=∠ACD，∴∠ABP=∠BCQ=∠CAR，

∴△ABP≌△BCQ≌△CAR，

∴∠APB=∠BQC=∠ARC，

∴180°﹣∠APB=180°﹣BQC=180°﹣ARC，

即∠RPQ=∠PQR=∠PRQ，

∵∠RPQ+∠PQR+∠PRQ=180°，

∴∠RPQ=∠PQR=∠PRQ=60°．

∴∠PQR=60°．

（2）

解：∵△PQR是等邊三角形，

∴∠PRQ=60°，

∴∠ARD=∠PRQ=60°，

∴∠ARD=∠ABC=∠ABE，

∵∠DAR=∠EAB，

∴△ARD∽△ABE

（3）

解：作AH⊥BC于H．易知BH=CH= ，AH= m，BE=km，EH= m﹣km，

在Rt△AEH中，AE= = m，

∵△ARD∽△ABE，

∴ = = ，

∴AR= m，RD= m，PE=RD= m，

∴AP=AE﹣PE= m，

當0＜k＜ 時，RP=AP﹣AR= m，

∵△PQR，△ABC都是等邊三角形，

∴ = = ．

【解析】（1）只要證明△ABP≌△BCQ≌△CAR，推出∠APB=∠BQC=∠ARC，推出180°﹣∠APB=180°﹣BQC=180°﹣ARC，即∠RPQ=∠PQR=∠PRQ，由此即可解決問題．（2）只要證明∠ARD=∠ABE=60°即可解決問題．（3）想辦法求出等邊三角形△PQR與△ABC的邊長即可解決問題．
【考點精析】通過靈活運用等邊三角形的性質和相似三角形的應用，掌握等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°；測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解即可以解答此題．