Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線y=﹣ x﹣ 與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y=ax2﹣ x+c（a≠0）經過A，B，C三點．

（1）求過A，B，C三點拋物線的解析式并求出頂點F的坐標；
（2）在拋物線上是否存在點P，使△ABP為直角三角形？若存在，直接寫出P點坐標；若不存在，請說明理由；
（3）試探究在直線AC上是否存在一點M，使得△MBF的周長最�。咳舸嬖�，求出M點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直線y=﹣ x﹣ 與x軸交于點A，與y軸交于點C

∴點A（﹣1，0），C（0，﹣ ）

∵點A，C都在拋物線上，

∴

∴

∴拋物線的解析式為y= x2﹣ x﹣

∴頂點F（1，﹣ ）

（2）

解：方法一：存在：

p1（0，﹣ ），p2（2，﹣ ）

方法二：

設P（t， ），A（﹣1，0），B（3，0），

∵PA⊥PB，∴KPA×KPB=﹣1，

=﹣1，

∴（t+1）（t﹣3）=﹣3，∴t1=0，t2=2，

∴P1（0，﹣ ），P2（2，﹣ ）．

（3）

解：存在

理由：

解法一：

延長BC到點B′，使B′C=BC，連接B′F交直線AC于點M，則點M就是所求的點，

∵過點B′作B′H⊥AB于點H，

∵B點在拋物線y= x2﹣ x﹣ 上，

∴B（3，0），

在Rt△BOC中，tan∠OBC=

∴∠OBC=30°，BC=2

在Rt△B′BH中，B′H= BB′=2

BH= B′H=6，∴OH=3，

∴B′（﹣3，﹣2 ）．

設直線B′F的解析式為y=kx+b，

∴ ，

解得 ，

∴y= ．

，

解得 ，

∴M（ ）

∴在直線AC上存在點M，使得△MBF的周長最小，此時M（ ）．

解法二：

過點F作AC的垂線交y軸于點H，則點H為點F關于直線AC的對稱點，連接BH交AC于點M，則點M

即為所求．

過點F作FG⊥y軸于點G，則OB∥FG，BC∥FH，

∴∠BOC=∠FGH=90°，∠BCO=∠FHG

∴∠HFG=∠CBO

同方法一可求得B（3，0）

在Rt△BOC中，tan∠OBC=

∴∠OBC=30°，可求得GH=GC=

∴GF為線段CH的垂直平分線，可證得△CFH為等邊三角形

∴AC垂直平分FH

即點H為點F關于AC對稱點，

∴H（0，﹣ ）

設直線BH的解析式為y=kx+b，由題意得， ，

解得 ，

∴y= ，

，

解得 ，

∴M（ ），

∴在直線AC上存在點M，使得△MBF的周長最小，此時M（ ）

【解析】（1）拋物線解析式中有兩個待定系數a，c，根據直線AC解析式求點A、C坐標，代入拋物線解析式即可；（2）分析不難發現，△ABP的直角頂點只可能是P，根據已知條件可證AC2+BC2=AB2 ， 故點C滿足題意，根據拋物線的對稱性，點C關于拋物線對稱軸的對稱點也符合題意；（3）由于B，F是定點，BF的長一定，實際上就是求BM+FM最小，找出點B關于直線AC的對稱點B'，連接B'F，交AC于點M，點M即為所求，由（2）可知，BC⊥AC，延長BC到B'，使BC=B'C，利用中位線的性質可得B'的坐標，從而可求直線B'F的解析式，再與直線AC的解析式聯立，可求M點坐標．
【考點精析】利用二次函數的圖象和二次函數的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．