Question

【題目】（提出問題）如圖1，在等邊三角形ABC內一點P，PA=3,PB=4,PC=5．求∠APB的度數？小明提供了如下思路：

如圖2，將△APC繞A點順時針旋轉60°至△AP'B ,則AP'=AP=3,P'C=PB=4,∠P'AC=∠PAB ,所以∠P'AC+∠CAP=∠PAC+∠BAP ,即∠P'AP=∠BAC=60° ,所以△AP'P為等邊三角形 ,所以∠A P'P=60° ,

……按照小明的解題思路，

易求得∠APB= ；

（嘗試應用）

如圖3，在等邊三角形ABC外一點P，PA=6,PB=10,PC=8．求∠APC的度數？

（解決問題）

如圖4，平面直角坐標系xoy中，直線AB的解析式為y=－x+b(b>0),在第一象限內一點P，滿足PB:PO:PA=1:2:3，則∠BPO= 度（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】【解決問題】 150°；【嘗試應用】30°；【解決問題】135°

【解析】

解決問題:由題意得AP'=AP=PP'，根據勾股定理的逆定理，可知△P'PB是直角三角形即可求解.

嘗試應用:將△ABP繞點A逆時針旋轉60°，連接PP'，得到△APP'是等邊三角形，△PP'C是直角三角形.

解決問題:將△APO繞O逆時針旋轉90°，連接PP'證明△PP'O為等腰直角三角形，根據勾股定理證明△PP'B為直角三角形即可.

解決問題:150°.

∵AP'=AP=PP'=3

∴PP'2+BP2= BP'2

∴△BP'P為直角三角形

∴∠APB=150°

嘗試應用:∠APC=30°，提示：將△ABP繞點A逆時針旋轉60°，連接PP'，得到△APP'是等邊三角形，△PP'C是直角三角形.

將△ABP繞點A逆時針旋轉60°，連接PP'，PB= P'C=10

∴△APP'是等邊三角形

∴PP'=6

∵PP'2+PC2= P'C2

∴△PP'C是直角三角形

∴∠APC=∠P'PC- ∠P'PA=30°

解決問題:類比前面的方法，通過旋轉構造直角三角形，可求得結果為135°

將△APO繞O逆時針旋轉90°，連接PP',

因為△P’OP是等腰直角三角形，

所以PP’==2,

因為△P’OB≌△POA，

所以P’B=PA=3.

在△P’PB中，∵PP’2+PB2=P’B2,

∴△P’PB是直角三角形，

∴∠BPP’=90°，

∴∠BPO=90°+45°=135°