【題目】如圖,在⊙O中,直徑AB垂直于弦CD,垂足為E,連結AC,將△ACE沿AC翻轉得到△ACF,直線FC與直線AB相交于點G.
(1)求證:FG是⊙O的切線;
(2)若B為OG的中點,CE=,求⊙O的半徑長;
(3)①求證:∠CAG=∠BCG;
②若⊙O的面積為4π,GC=2,求GB的長.
【答案】(1)見解析;(2)2;(3) ①見解析; ②2.
【解析】
(1)連接OC,由OA=OC得∠OAC=∠OCA,根據折疊的性質得∠OAC=∠FAC,∠F=∠AEC=90°,則∠OCA=∠FAC,于是可判斷OC∥AF,根據平行線的性質得∠OCG=∠F=90°,然后根據切線的性質得直線FC與⊙O相切;
(2)首先證明△OBC是等邊三角形,在Rt△OCE中,根據OC2=OE2+CE2,構建方程即可解決問題;
(3)①根據等角的余角相等證明即可;
②利用圓的面積公式求出OB,由△GCB∽△GAC,可得,由此構建方程即可解決問題;
(1)證明:連結,則
,
又,
即直線垂直于半徑
,且過
的外端點
是
切線.
(2)點
是
斜邊
的中點,
,
是等邊三角形,且
是
的高。
在,
,即
,
解得,即
的半徑為2.
(3)①,
,且
,
.
②,
,由①知:
∽
,
,即
,
,
解得:.
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【題目】如圖,在直角坐標系中,A(﹣1,2),B(﹣4,﹣2).
(1)分別作點A,B關于原點的對稱點C,D,并寫出點C,點D的坐標;
(2)依次連接AB,BC,CD,DA,并證明四邊形ABCD是平行四邊形.
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【題目】如圖,在正方形ABCD中,E是邊CD的中點.
(1)用直尺和圓規作⊙O,使⊙O經過點A、B、E(保留作圖痕跡,不寫作法);
(2)若正方形ABCD的邊長為2,求(1)中所作⊙O的半徑.
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【題目】如圖,點E、F分別是正方形ABCD的邊CD、AD上的點,且CE=DF,AE、BF相交于點O,下面四個結論:(1)AE=BF,(2)AE⊥BF,(3)AO=OE,(4)S△AOB=S四邊形DEOF,其中正確結論的序號是 .
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【題目】若任意一個三位數t的百位數字為a,十位數字為b,個位數字為c,那么可將這個三位數表示為t=(a≠0),且滿足t=100a+10b+c,我們把三位數各位上的數字的乘積叫做原數的積數,記為P(t).重新排列一個三位數各位上的數字,必可以得到一個最大的三位數和一個最小的三位數,此最大三位數與最小三位數之差叫做原數的差數,記為F(t),例如:264的積數P(264)=48,差數F(264)=642﹣246=396.
(1)根據以上材料:F(258)= ;
(2)若一個三位數t=,且P(t)=0,F(t)=135,求這個三位數.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,以點C為圓心,CA為半徑的圓與AB交于點D,則AD的長為( ).
A. B.
C.
D.
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【題目】(7分)“校園手機”現象越來越受到社會的關注,小記者劉紅隨機調查了某校若干學生和家長對中學生帶手機現象的看法,制作了如下的統計圖:
(1)求這次調查的總人數,并補全圖1;
(2)求圖2中表示家長“贊成”的圓心角的度數;
(3)針對隨機調查的情況,劉紅決定從初三一班表示贊成的4位家長中隨機選擇2位進行深入調查,其中包含小亮和小丁的家長,請你利用樹狀圖或列表的方法,求出小亮和小丁的家長被同時選中的概率.
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【題目】(1)在數軸上標出數﹣4.5,﹣2,1,3.5所對應的點A,B,C,D;
(2)C,D兩點間距離=_____;B,C兩點間距離=_____;
(3)數軸上有兩點M,N,點M對應的數為a,點N對應的數為b,那么M,N兩點之間的距離=_____;
(4)若動點P,Q分別從點B,C同時出發,沿數軸負方向運動;已知點P的速度是每秒1個單位長度,點Q的速度是每秒2個單位長度,問①t為何值時P,Q兩點重合?②t為何值時P,Q兩點之間的距離為1?
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,點D是線段AB上的一點,連接CD,過點B作BG⊥CD,分別交CD,CA于點E,F,與過點A且垂直于AB的直線相交于點G,連接DF.給出以下四個結論:①②若點D是AB的中點,則AF=
AB;③當B,C,F,D四點在同一個圓上時,DF=DB;④若
,則
,其中正確的結論序號是( )
A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①②③④
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