Question

（2012•本溪）已知，在△ABC中，AB=AC．過A點的直線a從與邊AC重合的位置開始繞點A按順時針方向旋轉角θ，直線a交BC邊于點P（點P不與點B、點C重合），△BMN的邊MN始終在直線a上（點M在點N的上方），且BM=BN，連接CN．
（1）當∠BAC=∠MBN=90°時，
①如圖a，當θ=45°時，∠ANC的度數為

45°

；
②如圖b，當θ≠45°時，①中的結論是否發生變化？說明理由；
（2）如圖c，當∠BAC=∠MBN≠90°時，請直接寫出∠ANC與∠BAC之間的數量關系，不必證明．

Answer 1

分析：（1）①證明四邊形ABNC是正方形，根據正方形的對角線平分一組對角線即可求解；
②根據等腰直角三角形的性質可得∠BNP=∠ACB，然后證明△BNP和△ACP相似，根據相似三角形對應邊成比例可得

BP

AP

=

PN

PC

，再根據兩邊對應成比例夾角相等可得△ABP和△CNP相似，然后根據相似三角形對應角相等可得∠ANC=∠ABC，從而得解；
（2）根據等腰三角形的兩底角相等求出∠BNP=∠ACB，然后證明△BNP和△ACP相似，根據相似三角形對應邊成比例可得

BP

AP

=

PN

PC

，再根據兩邊對應成比例夾角相等可得△ABP和△CNP相似，然后根據相似三角形對應角相等可得∠ANC=∠ABC，然后根據三角形的內角和定理列式整理即可得解．

解答：解：（1）①∵∠BAC=90°，θ=45°，
∴AP⊥BC，BP=CP（等腰三角形三線合一），
∴AP=BP（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），
又∵∠MBN=90°，BM=BN，
∴AP=PN（等腰三角形三線合一），
∴AP=PN=BP=PC，且AN⊥BC，
∴四邊形ABNC是正方形，
∴∠ANC=45°；

②當θ≠45°時，①中的結論不發生變化．
理由如下：∵∠BAC=∠MBN=90°，AB=AC，BM=BN，
∴∠ABC=∠ACB=∠BNP=45°，
又∵∠BPN=∠APC，
∴△BNP∽△ACP，
∴

BP

AP

=

PN

PC

，
又∵∠APB=∠CPN，
∴△ABP∽△CNP，
∴∠ANC=∠ABC=45°；

（2）∠ANC=90°-

1

2

∠BAC．
理由如下：∵∠BAC=∠MBN≠90°，AB=AC，BM=BN，
∴∠ABC=∠ACB=∠BNP=

1

2

（180°-∠BAC），
又∵∠BPN=∠APC，
∴△BNP∽△ACP，
∴

BP

AP

=

PN

PC

，
又∵∠APB=∠CPN，
∴△ABP∽△CNP，
∴∠ANC=∠ABC，
在△ABC中，∠ABC=

1

2

（180°-∠BAC）=90°-

1

2

∠BAC．

點評：本題考查了旋轉的性質，等腰直角三角形的性質，以及等腰三角形三線合一的性質，（1）②與（2）中，先根據兩角對應相等，兩三角形相似求出兩邊比值相等，再根據兩邊對應成比例，夾角相等得到另兩個相似三角形是解題的關鍵．