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【題目】如圖,正方形ABCD中,E、F分別是邊AD、CD上的點,DE=CF,AF與BE相交于O,DG⊥AF,垂足為G.
(1)求證:AF⊥BE;
(2)試探究線段AO、BO、GO的長度之間的數量關系;
(3)若GO:CF=4:5,試確定E點的位置.

【答案】
(1)證明:∵ABCD為正方形,且DE=CF,

∴AE=DF,AB=AD,∠BAE=∠ADF=90°,

在△ABE和△DAF,

,

∴△ABE≌△DAF,

∴∠ABE=∠DAF,又∵∠ABE+∠AEB=90°,

∴∠DAF+∠AEB=90°,

∴∠AOE=90°,即AF⊥BE


(2)解:BO=AO+OG.

理由:由(1)的結論可知,

∠ABE=∠DAF,∠AOB=∠DGA=90°,AB=AD,

在△ABO和△DAG中,

,

則△ABO≌△DAG,

所以,BO=AG=AO+OG


(3)解:過E點作EH⊥DG,垂足為H,

由矩形的性質,得EH=OG,

∵DE=CF,GO:CF=4:5,∴EH:ED=4:5,

∵AF⊥BE,AF⊥DG,∴OE∥DG,

∴∠AEB=∠EDH,△ABE∽△HED,

∴AB:BE=EH:ED=4:5,

在Rt△ABE中,AE:AB=3:4,

故AE:AD=3:4,

即AE= AD.


【解析】(1)由DE=CF及正方形的性質,得出AE=DF,AB=AD,∠BAE=∠ADF=90°,證明△ABE≌△DAF,得出∠ABE=∠DAF,而∠ABE+∠AEB=90°,利用互余關系得出∠AOE=90°即可;(2)由(1)的結論可證△ABO≌△DAG,得BO=AG=AO+OG;(3)過E點作EH⊥DG,垂足為H,則EH=OG,由DE=CF,GO:CF=4:5,得EH:ED=4:5,而AF⊥BE,AF⊥DG,則OE∥DG,∠AEB=∠EDH,△ABE∽△HED,利用相似比得出AB:BE,由勾股定理得出AE:AB,從而得出AE:AD.
【考點精析】認真審題,首先需要了解正方形的性質(正方形四個角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角;正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形;正方形的對角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形),還要掌握相似三角形的判定與性質(相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方)的相關知識才是答題的關鍵.

練習冊系列答案
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A.1B.2C.3D.4

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A.1B.2C.3D.4

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