【題目】如圖,正方形ABCD中,E、F分別是邊AD、CD上的點,DE=CF,AF與BE相交于O,DG⊥AF,垂足為G.
(1)求證:AF⊥BE;
(2)試探究線段AO、BO、GO的長度之間的數量關系;
(3)若GO:CF=4:5,試確定E點的位置.
【答案】
(1)證明:∵ABCD為正方形,且DE=CF,
∴AE=DF,AB=AD,∠BAE=∠ADF=90°,
在△ABE和△DAF,
∵ ,
∴△ABE≌△DAF,
∴∠ABE=∠DAF,又∵∠ABE+∠AEB=90°,
∴∠DAF+∠AEB=90°,
∴∠AOE=90°,即AF⊥BE
(2)解:BO=AO+OG.
理由:由(1)的結論可知,
∠ABE=∠DAF,∠AOB=∠DGA=90°,AB=AD,
在△ABO和△DAG中,
∵ ,
則△ABO≌△DAG,
所以,BO=AG=AO+OG
(3)解:過E點作EH⊥DG,垂足為H,
由矩形的性質,得EH=OG,
∵DE=CF,GO:CF=4:5,∴EH:ED=4:5,
∵AF⊥BE,AF⊥DG,∴OE∥DG,
∴∠AEB=∠EDH,△ABE∽△HED,
∴AB:BE=EH:ED=4:5,
在Rt△ABE中,AE:AB=3:4,
故AE:AD=3:4,
即AE= AD.
【解析】(1)由DE=CF及正方形的性質,得出AE=DF,AB=AD,∠BAE=∠ADF=90°,證明△ABE≌△DAF,得出∠ABE=∠DAF,而∠ABE+∠AEB=90°,利用互余關系得出∠AOE=90°即可;(2)由(1)的結論可證△ABO≌△DAG,得BO=AG=AO+OG;(3)過E點作EH⊥DG,垂足為H,則EH=OG,由DE=CF,GO:CF=4:5,得EH:ED=4:5,而AF⊥BE,AF⊥DG,則OE∥DG,∠AEB=∠EDH,△ABE∽△HED,利用相似比得出AB:BE,由勾股定理得出AE:AB,從而得出AE:AD.
【考點精析】認真審題,首先需要了解正方形的性質(正方形四個角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角;正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形;正方形的對角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形),還要掌握相似三角形的判定與性質(相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方)的相關知識才是答題的關鍵.
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】某商場為了吸引顧客,設立了可以自由轉動的轉盤(如圖,轉盤被均勻分為20份),并規定:顧客每購買200元的商品,就能獲得一次轉動轉盤的機會.如果轉盤停止后,指針正好對準紅色、黃色、綠色區域,那么顧客就可以分別獲得200元、100元、50元的購物券,憑購物券可以在該商場繼續購物.如果顧客不愿意轉轉盤,那么可以直接獲得購物券30元.
(1)求轉動一次轉盤獲得購物券的概率;
(2)轉轉盤和直接獲得購物券,你認為哪種方式對顧客更合算?
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】某鎮水庫的可用水量為12000萬m3,假設年降水量不變,能維持該鎮16萬人20年的用水量.為實施城鎮化建設,新遷入了4萬人后,水庫只能夠維持居民15年的用水量.
(1)問:年降水量為多少萬m3?每人年平均用水量多少m3?
(2)政府號召節約用水,希望將水庫的使用年限提高到25年.則該鎮居民人均每年需節約多少m3水才能實現目標?
(3)某企業投入1000萬元設備,每天能淡化5000m3海水,淡化率為70%.每淡化1m3海水所需的費用為1.5元,政府補貼0.3元.企業將淡化水以3.2元/m3的價格出售,每年還需各項支出40萬元.按每年實際生產300天計算,該企業至少幾年后能收回成本(結果精確到個位)?
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【題目】如圖,PA、PB分別切⊙O于A、B,連接PO、AB相交于D,C是⊙O上一點,∠C=60°.
(1)求∠APB的大;
(2)若PO=20cm,求△AOB的面積.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】有以下說法:其中正確的說法有( 。
(1)開方開不盡的數是無理數;
(2)無理數是無限循環小數
(3)無理數包括正無理數和負無理數;
(4)無理數都可以用數軸上的點來表示;
(5)循環小數都是有理數
A.1個B.2個C.3個D.4個
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【題目】如圖,△ABC和△DEF是兩個全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90°,△DEF的頂點E與△ABC的斜邊BC的中點重合.將△DEF繞點E旋轉,旋轉過程中,線段DE與線段AB相交于點P,線段EF與射線CA相交于點Q.
(1)如圖①,當點Q在線段AC上,且AP=AQ時,求證:△BPE≌△CQE;
(2)如圖②,當點Q在線段CA的延長線上時,求證:△BPE∽△CEQ;并求當BP=a,CQ= 時,P、Q兩點間的距離 (用含a的代數式表示).
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC是等邊三角形,D、E分別在邊BC、AC上,且CD=CE,連接DE并延長至點F,使EF=AE,連接AF、BE和CF.
(1)請在圖中找出一對全等三角形,用符號“≌”表示,并加以證明;
(2)判斷四邊形ABDF是怎樣的四邊形,并說明理由;
(3)若AB=6,BD=2DC,求四邊形ABEF的面積..
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