【題目】如圖,PA、PB分別切⊙O于A、B,連接PO、AB相交于D,C是⊙O上一點,∠C=60°.
(1)求∠APB的大;
(2)若PO=20cm,求△AOB的面積.
【答案】
(1)解:∵PA、PB分別切⊙O于A、B,
∴OA⊥PA,OB⊥PB,
∴∠PAO=∠PBO=90°,
∵∠C=60°,
∴∠AOB=2∠C=2×60°=120°,
∴∠APB=360°﹣∠PAO﹣∠PBO﹣∠AOB=60°
(2)解:∵PA、PB分別切⊙O于A、B,
∴∠PAO=∠PBO=90°,∠APO= ∠APB=
×60°=30°,PA=PB,
∴P在AB的垂直平分線上,
∵OA=OB,
∴O在AB的垂直平分線上,
即OP是AB的垂直平分線,
即OD⊥AB,AD=BD= AB,
∵∠PAO=90°,
∴∠AOP=60°,
在Rt△PAO中,AO= PO=
×20=10(cm),
在Rt△AOD中,AD=AOsin60°=10× =5
(cm),OD=OAcos60°=10×
=5(cm),
∴AB=2AD=10 cm,
∴△AOB的面積為: ABOD=
×10
×5=25
(cm2)
【解析】(1)由PA、PB分別切⊙O于A、B,由切線的性質,即可得OA⊥PA,OB⊥PB,又由圓周角定理,求得∠AOB的度數,繼而求得∠APB的大;(2)由切線長定理,可求得∠APO的度數,繼而求得∠AOP的度數,易得PO是AB的垂直平分線,然后利用三角函數的性質,求得AD與OD的長,繼而求得答案.
【考點精析】根據題目的已知條件,利用圓周角定理和切線的性質定理的相關知識可以得到問題的答案,需要掌握頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上,且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半;切線的性質:1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑.
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC的中線BE,CF相交于點G,P、Q分別是BG、CG的中點.
(1)求證:四邊形EFPQ是平行四邊形;
(2)請直接寫出BG與GE的數量關系.(不要求證明).
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【題目】如圖,P是等腰直角△ABC外一點,把BP繞點B順時針旋轉90°到BP′,已知∠AP′B=135°,P′A:P′C=1:3,則P′A:PB=( )
A.1:
B.1:2
C. :2
D.1:
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【題目】有一根40cm的金屬棒,欲將其截成x根7cm的小段和y根9cm的小段,剩余部分作廢料處理,若使廢料最少,則正整數x,y應分別為 ( )
A. B.
C.
D.
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【題目】嘉淇同學要證明命題“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”是正確的,她先用尺規作出了如圖1的四邊形ABCD,并寫出了如下不完整的已知和求證.
已知:如圖1,在四邊形ABCD中,BC=AD,AB=
求證:四邊形ABCD是 四邊形.
(1)在方框中填空,以補全已知和求證;
(2)按嘉淇同學的思路寫出證明過程;
(3)用文字敘述所證命題的逆命題.
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【題目】如圖,正方形ABCD中,E、F分別是邊AD、CD上的點,DE=CF,AF與BE相交于O,DG⊥AF,垂足為G.
(1)求證:AF⊥BE;
(2)試探究線段AO、BO、GO的長度之間的數量關系;
(3)若GO:CF=4:5,試確定E點的位置.
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【題目】如圖,點E是正方形ABCD內的一點,連接AE、BE、CE,將△ABE繞點B順時針旋轉90°到△CBE′的位置.若AE=1,BE=2,CE=3,則∠BE′C=__度.
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