Question

【題目】若二次函數圖象的頂點在一次函數的圖象上，則稱為的中雅函數，如：是的中雅函數．

(1)判斷二次函數是否為一次函數的中雅函數，并說明理由；

(2)若關于的一次函數的中雅函數與軸兩個交點間的距離為，求直線與坐標軸所圍三角形的面積；

(3)已知關于的一次函數的中雅函數為，與平行的直線交中雅函數的圖象于、兩點，若軸上有且僅有一個點，使得，求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）先求出頂點坐標，代入，判斷是否是上的點即可求解．

（2）先求出的頂點坐標，根據是一次函數的中雅函數，列出等式，將m用n表示出來，設與軸兩個交點分別為x1，x2

兩點間距離，求出n，即可求出m，得出直線解析式，即可求出直線與坐標軸所圍三角形的面積．

（3）求出的頂點坐標，根據是一次函數的中雅函數，得出，已知直線與平行，即可得出，再求出與交點A、B坐標，AB長，AB中點C的縱坐標，軸上有且僅有一個點，使得，則說明以AB為直徑的圓與x軸相切，則點C縱坐標等于以AB為直徑的圓的半徑，列出等式即可求出k．

（1）∵

，

∴的頂點坐標為(1,-5)

當x=1時，≠-5

∴二次函數不是一次函數的中雅函數

故答案為：二次函數不是一次函數的中雅函數，理由見解析

（2）的頂點坐標為：

，

∵是一次函數的中雅函數

∴

解得

∵與軸兩個交點分別為x1，x2

∵，

解得n=±6

當n=6時，m=

當n=-6時，m=

或

一次函數中，

令x=0，y=-3

令y=0，x=9

與坐標軸所圍三角形的面積為

一次函數中

令x=0，y=3

令y=0，x=-9

與坐標軸所圍三角形的面積為

∴直線與坐標軸所圍三角形的面積為

故答案為：

（3）的頂點坐標為：

，

∵是一次函數的中雅函數

∴

∴

∵直線與平行

∴n=m=3k

∴

設與交于A、B兩點

令

解得x=3或x=-1

∴A(-1,4k)，B(3,16k)

∴AB=

取AB的中點C，則C點縱坐標為6k+4k=10k

若軸上有且僅有一個點，使得，則說明以AB為直徑的圓與x軸相切

則點C縱坐標等于以AB為直徑的圓的半徑

即10k=

解得k=±

又∵k＞0

∴k=

故答案為：