Question

【題目】折紙的思考．

用一張矩形紙片折等邊三角形．
第一步，對折矩形紙片ABCD（AB＞BC）（圖①），使AB與DC重合，得到折痕EF，把紙片展平（圖②）．
第二步，如圖③，再一次折疊紙片，使點C落在EF上的P處，并使折痕經過點B，得到折痕BG，折出PB，PC，得到△PBC．
（1）說明△PBC是等邊三角形．
（2）如圖④，小明畫出了圖③的矩形ABCD和等邊三角形PBC，他發現，在矩形ABCD中把△PBC經過圖形變化，可以得到圖⑤中的更大的等邊三角形，請描述圖形變化的過程．
（3）已知矩形一邊長為3cm，另一邊長為a cm，對于每一個確定的a的值，在矩形中都能畫出最大的等邊三角形，請畫出不同情形的示意圖，并寫出對應的a的取值范圍．
（4）用一張正方形鐵片剪一個直角邊長分別為4cm和1cm的直角三角形鐵片，求所需正方形鐵片的邊長的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：由折疊的性質得：EF是BC的垂直平分線，BG是PC的垂直平分線，

∴PB=PC，PB=CB，

∴PB=PC=CB，

∴△PBC是等邊三角形

（2）

解：以 點B為中心，在矩形ABCD中把△PBC逆時針方向旋轉適當的角度，得到△P1BC1；

再以點B為位似中心，將△△P1BC1放大，使點C1的對稱點C2落在CD上，得到△P2BC2；

如圖⑤所示

（3）

解：本題答案不唯一，舉例如圖⑥所示

（4）

解：如圖⑦所示：

△CEF是直角三角形，∠CEF=90°，CE=4，EF=1，

∴∠AEF+∠CED=90°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠A=∠D=90°，AD=CD，

∴∠DCE+∠CED=90°，

∴∠AEF=∠DCE，

∴△AEF∽△DCE，

∴ = ，

設AE=x，則AD=CD=4x，

∴DE=AD﹣AE=3x，

在Rt△CDE中，由勾股定理得：（3x）2+（4x）2=42，

解得：x= ，

∴AD=4× = ；

故答案為： ．

【解析】（1）由折疊的性質和垂直平分線的性質得出PB=PC，PB=CB，得出PB=PC=CB即可；（2）由旋轉的性質和位似的性質即可得出答案；（3）由等邊三角形的性質、直角三角形的性質、勾股定理進行計算，畫出圖形即可；（4）證明△AEF∽△DCE，得出 = ，設AE=x，則AD=CD=4x，DE=AD﹣AE=3x，在Rt△CDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【考點精析】關于本題考查的等邊三角形的性質和勾股定理的概念，需要了解等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能得出正確答案．