Question

【題目】如圖①，△ABC是等邊三角形，點P是BC上一動點（點P與點B、C不重合），過點P作PM∥AC交AB于M，PN∥AB交AC于N，連接BN、CM．

（1）求證：PM+PN＝BC；

（2）在點P的位置變化過程中，BN＝CM是否成立？試證明你的結論；

（3）如圖②，作ND∥BC交AB于D，則圖②成軸對稱圖形，類似地，請你在圖③中添加一條或幾條線段，使圖③成軸對稱圖形（畫出一種情形即可）．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）結論成立，理由見解析；（3）見解析

【解析】

（1）先證明△BMP，△CNP是等邊三角形，再證明△BPN≌△MPC，從而PM=PB，PN=PC，可得PM+PN＝BC；

（2）BN＝CM總成立，由（1）知△BPN≌△MPC，根據全等三角形的性質可得結論；

（3）作ND∥BC交AB于N，作ME∥BC交AC于M，作EF∥AB交BC于F，連接DF即可．

（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，

∵PM∥AC，PN∥AB，

∴∠BPM＝∠ACB＝60°，∠CPN＝∠ABC＝60°，

∴△BMP，△CNP是等邊三角形，

∴∠BPM＝∠CPN＝60°，PN=PC，PN=PC，

∴∠BPN＝∠MPC，

∴△BPN≌△MPC，

∴PM=PB，PN=PC，

∵BP+PC＝BC，

∴PM+PN＝BC;

（2）BN＝CM總成立，理由：

由（1）知△BPN≌△MPC，

∴BN＝CM；

（3）解：如圖③即為所求．

作ND∥BC交AB于N，作ME∥BC交AC于M，作EF∥AB交BC于F，連接DF，作直線AH⊥BC交BC于H，

同（1）可證△AND，△AME，△BPM，△CEF都是等邊三角形，

∴D與N，M與E，B與C關于AH對稱.

∴BM=CE，

∴BM=CF，

∴P與F關于AH對稱，

∴所做圖形是軸對稱圖形.